Optimierungsproblem lösen (schwierig?)?
Ich zerbreche mir den Kopf an diesen zwei Aufgaben kann mir bitte jemand erklären wie ich diese Aufgabe/n löse und für was man sowas braucht
Nein Quatsch das weiß ich aber wie löse ich diese Aufgabe
Aufgaben:
A) Susanne will mit 6m Maschendrahtzaun an einer Wand einen rechteckigen Auslauf für Ihre Kaninchen abgrenzen.
Bestimme die Abmessung, für die der Auslauf möglichst groß wird.
B)Susannes Schwester schlägt vor, den Auslauf zwischen der Garagenwand und dem Zaun zum Nachbargrundstück zu errichten.
Bestimme für diesen Vorschlag die günstigsten Abmessungen.
5 Antworten
a)
Zaun = 2a + b
6 = 2a + b
b = 6 - 2a
Fläche:
A = a*b
Jetzt setzt man ein
A = a*(6 - 2a)
Wenn man jetzt ausmultipliziert erhält man eine quadratische Funktion. Wie man davon ein Maximum berechnet, weißt du wahrscheinlich.
b)
Im Prinzip wie a), nur das es beim Zaun
Zaun = a + b
6 = a + b
heißt.
Der Rest, siehe oben.
1) Fläche A=a*b ist die Hauptgleichung (Hauptbedingung)
2) Umfang U=2*a+b ist die Nebenbedingung (Nebengleichung)
Wir haben hier 2 Unbekannte,a und b und 2 Gleichungen,also lösbar.
aus 2) b=U-2*a in 1)
A(a)=a*(U-2*a)=a*U-2*a^2
A(a)=-2*a^2+U*a mit U=6 m
A(a)=-2*a²+6*a nun Extrema bestimmen,also ableiten
A´(a)=0=-4*a+6 Nullstelle bei a=6/4=1,5
U=2*a+b ergibt b=U-2*a=6m-2*1,5m=3m
Maße also a=1,5m und b=3m
nun prüfen,ob ein Maximum vorliegt nochmal ableiten
A´´(a)=-4<0 also ein Maximum
Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´(x)<0
Quadratisch ergibt das beste Verhältnis von Seitenlänge (verfügbarer Zaun) und umgrenzter Fläche, wenn das Ding rechteckig sein muss. Daher:
a) 2m, 2m, 2m unter Verwendung von 2m Mauer
b) 3m, 3m unter Verwendung von 3m Zaun und 3m Mauer.
Ah, Du hast recht. Ich habe nicht richtig nachgedacht. Zwar ist ein Quadrat das Maximum, wenn man alle Seiten umzäunen muss aber da die Mauerstrecke ohne Investition in Zaunmaterial auskommt, ist das hier nciht die Lösung. Man muss die Ableitung der Gleichung aus den Bedingungen F = a*b und 6m = 2a+b lösen. Danke für den Hinweis!
- dann die 6meter durch die anzahl der benötigten teile dividieren?
- also 3 teile durch 6 meter gleich 2 mal 2 mal 2 meter
- und bei 2 teilen durch sechs meter also 2 mal 3 meter?
- 3 teile durch 6 meter gleich (1 mal 2) und (einmal 1 und einmal 3)
Nein, das meine ich nicht. Wieviele Zaunteile benötigt werden ist vorgegeben - bei a) sind es drei und bei b) zwei. Die Frage ist, bei welche Länge der Zaunteile die umgrenzte Fläche maximal wird.
ja und hast du das jetzt geraten oder hast du dafür auch so eine lustige kleine formel wie die die ich angegeben habe? ansonsten ist das ja gar kein beweis.
hättest du eine formel, könntest du sogar meine verrückte Behauptung widerlegen, wäre meine Behauptung falsch.
zu b)
1) A=a*b ist die Hauptgleichung
2) U=a+b ergibt b=U-a in 1)
A(a)=a*(U-a)=-a^2+U*a abgeleitet
A´(a)=0=-2*a+U Nullstelle bei a=U/2=6m/2=3m
b=U-a=6m-3m=3m
also Amax bei a=3m und b=3m
A´´(a)=-2<0 also "Maximum"
Ich habe mal ins Internet geschaut :
http://www.zahlreich.de/messages/68409/312555.html
Deine Fläche bei a) ist 2mx2m=4qm.
Wenn ich meinen Zaun aufbaue, ist a 1,5m und b 3m Lang, was eine Fläche von 4,5qm ergibt. Mehr Platz für den Hasen.