Wie bestimmt man p bei einer Binomialaufgabe?

Hallöchennn,

und zwar lautet meine Mathe Aufgabe

Bei einer Binomialverteilung ist p so groß, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens r Treffer gibt. Welche Werte kann p annehmen für n=5; r=1.

Ich habe leider keinen Ansatz, womit ich anfangen kann zu rechnen, denn mein Lehrer war nur so ja rechnet das als Hausaufgabe zuhause aus, ohne uns irgendwelche hilfreichen Informationen mitzugeben 😔. Und ich habe auch schon alles versucht das beim CAS auf verschiedenste Weise einzugeben, aber da kam nie was hilfreiches raus, sonst immer nur p=0 oder p=1, aber das ist ja schlecht die Lösung.

Es reicht mir auch völlig nur der Ansatz und sonst das Ergebnis, damit ich dann vergleichen kann. Ich danke schonmal im Voraus :)

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Wie ist denn die Formel für die Binomialverteilung aufgebaut?

$P\left(X=r\right)\ =\ \binom{n}{r}\ \cdot\ p^r\ \cdot\ \left(1-p\right)^{n-r}$

Da nach mindestens gefragt ist, gilt

$P\left(X\ge r\right)\ =\ \sum_r^n\ \binom{n}{r}\ \cdot\ p^r\ \cdot\ \left(1-p\right)^{n-r}$

Weil r=1 ist, können wir uns ferner folgenden Vorteil zu Nutze machen:

$P\left(X\ge r\right)\ =\ 1\ -\ P\left(X<r\right)$

Wir müssen also nur für X=0 einsetzen und das von 1 abziehen:

$P\left(X\ge1\right)\ =\ 1\ -\ \binom{5}{0}\ \cdot\ p^0\ \cdot\ \left(1-p\right)^5$ $P\left(X\ge1\right)\ =\ 1\ -\ 1\ \cdot\ 1\ \cdot\ \left(1-p\right)^5$

Und hierbei soll mindestens 75% rauskommen.

$0,75\ge\ 1\ -\ \left(1-p\right)^5$ $0,25\ \ge\ \left(1-p\right)^5$ $0,7578583\ \ge\ 1\ -\ p$ $0,242142\ \ge\ p$ $p\ <\ 0,242142$

Setzen wir ein zur Kontrolle:

$P\left(X=0\right)\ =\ \binom{5}{0}\ \cdot\ 0,242142^0\ \cdot\ 0,757858^5$

Wenn dort maximal 0,25 rauskommt, dann ist P(X>=1) >= 0,75 und wir haben p richtig berechnet.

Da wir bereits halb 2 haben, übernehme ich keine Gewähr auf Richtigkeit. 😉

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Comments

[chantalq032]

Ich danke dir vielmals 😭🙏🙏🙏 ich habe es sogar ziemlich verstanden, aber bei der dritten Teilaufgabe ist n=10 und r=2 und deshalb wollte ich fragen wie ich das jetzt umstellen muss. Ich habe bis jetzt P(X>=2)= 45 • p^2 (1 - p)^8 und weiß leider nicht wie ich das weiter ausrechnen soll. Soll ich dann quadrieren und dann 1/8 abziehen, um die Exponenten wegzubekommen oder wie soll ich da vorgehen? 😓😓 ich hoffe meine Frage ich verständlich und ich danke schonmal im Voraus 😊