Wie berechne ich den Volumen dieses Körpers mit den Vektoren?
Danke für jede Hilfe!
2 Antworten
Sollte bei dieser Abbildung die Grundfläche und die Deckfläche parallel sein, dann handelt es sich um einen schiefen Pyramidenstumpf.
Das Volumen V berechnet sich mit der Formel
V = h/3 * (A1 + Wurzel(A1*A2) + A2)
A1, A2, h.... Grundfläche, Deckfläche, Höhe
Handelt es sich bei der Figur um einen beliebigen Polyeder, so kannst du die Tatsache nützen, dass sich jeder Polyeder in Tetraeder zerlegen lässt und das Volumen eines Tetraeders beträgt ein Sechstel des Betrages des Spatproduktes. Anschließend die Volumen der Tetraeder addieren.
Um das Volumen von diesem Körper mit den Vektoren zu berechnen, kannst du die Methode der Determinante benutzen. Du musst einfach die Koordinaten von den drei gegebenen Vektoren in einer 3x3-Matrix anordnen. Danach musst du die Determinante von dieser Matrix ausrechnen, um das Volumen zu finden.
Die Determinante kannst du manuell ausrechnen oder du kannst einen Taschenrechner oder eine Software benutzen, die das für dich erledigt. In diesem Fall beträgt die Determinante -28.
Das Volumen kannst du dann mit der Formel V = 1/6 * |det(A)| berechnen. A ist eine Matrix mit den drei gegebenen Vektoren als Spalten. Das Volumen wäre dann V = 1/6 * |-28| = 4.67 (auf 2 Nachkommastellen gerundet).
Also hat der Körper ein Volumen von 4.67 Einheiten.
Um das Volumen des Körpers mit den gegebenen Vektoren zu berechnen, ist es wichtig zu wissen, welche der Vektoren die Länge, Breite und Höhe des Körpers darstellen. Ohne weitere Informationen ist es schwer zu sagen, welcher der Vektoren welche Dimension darstellt.
PePf, PePc und PcPa könnten beispielsweise Positionen im Raum oder Richtungen sein, aber ohne weitere Kontextinformationen ist es nicht möglich zu bestimmen, welcher der Vektoren welche Dimension repräsentiert.
Daher ist es notwendig, zusätzliche Informationen oder Anweisungen zu erhalten, um zu bestimmen, welcher der Vektoren für welche Dimension steht.
In der Aufgabenstellung steht: „Für ein dreieckiges, gleichseitiges Gerinne wird ein Verbreiterungsbauteil entworfen. Die Positionen PA – PF entnehmen Sie der folgenden Zeichnung.“
In diesem Fall können wir die Vektoren PA, PB und PC verwenden, um das Volumen des Körpers zu berechnen, da sie die Positionen der Ecken des Gerinnes darstellen. Da es sich um ein dreieckiges, gleichseitiges Gerinne handelt, können wir davon ausgehen, dass alle Seiten und Winkel des Gerinnes gleich groß sind. Wenn wir nun die Vektoren PA, PB und PC betrachten, können wir PA als den Ursprung des Koordinatensystems wählen. Die Vektoren PB und PC können dann als Vektoren von PA aus dargestellt werden. Die Länge, Breite und Höhe des Körpers können dann aus den Längen der Vektoren PB, PC und der Höhe des Gerinnes bestimmt werden. Wir können dann die Methode der Determinante verwenden, wie in der vorherigen Antwort beschrieben, um das Volumen des Körpers zu berechnen.
Dankeschön :) Könnte man eigentlich den Spatprodukt verwenden ?
Ja, das Spatprodukt ist eine alternative Methode, um das Volumen eines parallelepipedischen Körpers zu berechnen, der durch drei nicht-kollineare Vektoren aufgespannt wird.
Super! Dann versuch ich gleich beides. Müsste ich dann dafür PaPb, PbPc, und was wer mein dritter Punkt?
Das ist die Tetraeder Formel aber der Körper ist kein Tetraeder, anscheinend hat die KI die Fragestellung nicht vollkommen identifizieren können
Welche der drei Vektoren soll ich nehmen? PePf, PePc, PcPa?