Wendepunkt dieser Funktion?
Hey,
Kann mir eienr die Wendepunkte der funktion f(x)=¼x^4-2x^2 berechnen?
Ich habe P1(1,15/-2,2) und p2(-1.15/-2.2) raus, aber da skann ja nicht sein, weil es nicht genau in der Mitte zwischen Hoch und Tiefpunkt liegt, oder? (HP ist Ursprung, TP sind 2/-4 und -2/-4)
1 Antwort
Um die Wendepunkte der Funktion f(x) = ¼x^4 - 2x^2 zu berechnen, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion bestimmen und die x-Werte finden, an denen die zweite Ableitung Null ist. An diesen Stellen befinden sich die Wendepunkte.
Die erste Ableitung von f(x) lautet:
f'(x) = x^3 - 4x
Die zweite Ableitung von f(x) erhalten wir, indem wir die erste Ableitung erneut ableiten:
f''(x) = 3x^2 - 4
Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir f''(x) gleich Null und lösen die Gleichung nach x auf:
3x^2 - 4 = 0
Durch Umstellen erhalten wir:
3x^2 = 4
x^2 = 4/3
x = ± √(4/3)
Da die Funktion eine gerade Potenzfunktion ist, hat sie keinen Wendepunkt im Ursprung (0,0).
Die Wendepunkte der Funktion f(x) = ¼x^4 - 2x^2 befinden sich also bei den x-Koordinaten x = √(4/3) und x = -√(4/3).
Um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen, setzen wir die x-Werte in die Funktion f(x) ein:
f(√(4/3)) = ¼(√(4/3))^4 - 2(√(4/3))^2
f(√(4/3)) = ¼(4/3)^2 - 2(4/3)
f(√(4/3)) = 16/9 - 8/3
f(√(4/3)) = 16/9 - 24/9
f(√(4/3)) = -8/9
f(-√(4/3)) = ¼(-√(4/3))^4 - 2(-√(4/3))^2
f(-√(4/3)) = ¼(4/3)^2 - 2(4/3)
f(-√(4/3)) = 16/9 - 8/3
f(-√(4/3)) = 16/9 - 24/9
f(-√(4/3)) = -8/9
Daher sind die Wendepunkte der Funktion f(x) = ¼x^4 - 2x^2 bei P1(√(4/3), -8/9) und P2(-√(4/3), -8/9). Es scheint, dass die von Ihnen genannten Punkte (1,15/-2,2) und (-1.15/-2.2) nicht den Wendepunkten dieser Funktion entsprechen.
Muss ich dich leider enttäuschen. Habe eben noch einmal nachgerechnet umd meine Lösung IST korrekt. (Natürlich gerundet, aber dennoch richtig.)