was ist die unendliche Summe von (-1)^n?
gerechnet wird für n ab 0 und geht bis unendliche.
Es geht also um die unendliche Reihe von 1-1+1-1+1-1+1 usw..
Manche behaupten, das Ergebis sei 1/2. Begründet wird es zB damit, dass wenn ich die Zahl untereinander mit sich selbst addiere, und den unteren Summenden um eine Stelle nach rechts verschiebe, dann als Ergebnis 1+0+0+0+0 ... also 1 erhalte. Insofern macht das Ergebnis von 1/2 Sinn, denn zusammen ergibt es ja auch 1.
Aber wenn ich es in MathStudio (iPhone App) eingebe, erhalte ich als Ergebnis [0, ...,1]. Erst wenn ich anstelle der 1 z.B 0.99999 eingebe, erhalte ich annähernd als Ergebnis 1/2, und zwar je näher ich an die 1 komme. Nun weiß ich nicht, ob ich mit dem Ergebnis von 1/2 weiter rechnen darf und MathStudio falsch ist, oder das Ergebnis von 1/2 falsch ist und die oben genannte Begründung auch.
Was ist nun das offiziell anerkannte Ergebnis?
3 Antworten
Wie schon ein Vorredner sagte, die Reihe ist divergent. Punkt.
Mir ist auch nicht klar, was deine App da ausspuckt, aber auch in der APP sollte es keinen Grenzwert geben.
Manche behaupten, das Ergebis sei 1/2.
wer genau behauptet das heutzutage noch? Dieses Ergebnis haben zwar ernstzunehmende Mathematiker noch im 18. Jhd. behauptet (so z.B. auch Euler), aber mit Einführung der strengen Konvergenzkriterien durch Cauchy und Weierstraß im 19. Jhd. war klar dass die Reihe schlicht divergent ist, also gar kein Ergebnis hat.
MathStudio ist kein Mathematiker und keine Mathematikerin, sondern ein Tool. Es "rechnet" nicht, sondern führt vorgegebene Operationen aus. Wenn es mit etwas gefüttert wird was seine Spezifikation überschreitet, dann liefert es schlicht Müll.
Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer unendlichen Reihe sum(a_n) ist, dass a_n für n gegen unendlich gegen 0 geht. Das ist auch für a_n = -n*(-1)^n nicht der Fall. Beschäftige dich bitte weniger mit dem Hin- und Herschieben von Ziffern, sondern damit was die Konvergenz von Reihen eigentlich bedeutet.
Grundsätzlich ändert das Verschieben und das Vertauschen von Reihenelementen bei nicht absolut konvergenten (und damit erst recht bei divergenten) Reihen den Reihenwert. Daher ist die Operation die du da im Kopf hast nicht erlaubt.
also kurzgefasst, ist das Ergebnis von 1/4 auch falsch bei -n*(-1)^n? Na dann brauche ich MathStudio nicht mehr trauen. Es liefert mir bei Zeta(-1) auch -1/12 aber bei der unendliche Summe von n ist das Ergebnis unendlich. Da war ich schon skeptisch.
Gibt es denn ein "Tool" zu empfehlen, der mir nur richtige/widerspruchsfreie Ergebnisse liefert in der analytischen Mathematik?
Fur jedes endliche n ist die Summe entweder 1 oder 0. Es gibt keinen Wert, dem sich die Summe für n->unendlich beliebig annähert. Damit ist die Reihe divergent. Es gibt keinen Grenzwert.
Ok. Und wie ist es mit der unendliche Summe von -n*(-1)^n ? Laut MathStudio erhalte ich als Ergebnis 1/4.
Wenn ich die Summe mit sich selbst addiere, und den unteren Summanden um eine Stelle nach rechts verschiebe, erhalte ich als Ergebnis 1-1+1-1+1-1 also die unendliche Summe von (-1)^n
Das wäre die nächste Begründung für 2* 1/4 = 1/2
Worin liegt hier der Denkfehler im Beweis?