Von der Normalform zur Scheitelform?

Ich weiß nicht ganz wie man da vorgehen soll um von der Normalform zur Scheitelform überzugehen.Wie funktioniert das?Zum Beispiel 2x^2+4x+2

Wie kommt man da zur scheitelform ?

Answer 1

[ethan227]

Nutze mal die Formel der quadratischen Ergänzung. Ein Beispiel davon kannst Du daunten sehen.

Bei $x^{2\ }+\ 14x\ +\ k\$ sollen wir den Wert von k ( als Kontante ) bestimmen, also der Normalform einer quadratischen Gleichung ist :

$ax^2\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0,\ sofern\ x\ kein\ 0\ ist$ und die Formel der quadratischen Ergänzung ist :

$\left(\frac{b}{2}\right)^2$

Deshalb wäre das unser Ergebnis von k :

$k\ =\ \left(\frac{14}{2}\right)^2\ =\ 7^2\ =\ 49$ Aber in diesem Fall ist es doch unterschiedlich - der erste Schritt ist es, dass Du 2 von der ganzen Gleichung ausklammern musst.

$f\left(x\right)\ =\ 2\left(x^2\ +\ 2x\ +\ 1\right)$ $f\left(x\right)\ =\ 2\left(x\ +\ 1\right)^2$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 2

[evtldocha]

Wie kommt man da zur scheitelform ?

Mittels quadratischer Ergänzung (die natürlich auf eine binomische Formel abzielt):

$2x^2+4x+2\ =2\cdot\left(x^2+2x\ +\left(\frac{2}{2}\right)^2\right)-2\cdot\left(\frac{2}{2}\right)^2+2\ =2\cdot\left(x+1\right)^2+0$

(Das "+0" habe ich am Ende absichtlich stehen gelassen, damit Du direkt den y-Wert des Scheitpunkts erkennst).

PS: Die binomische Formel hätte man in diesem Fall auch einfacher haben können, aber ich wollte Dir die Methode zeigen, die immer funktioniert.

Comments

[Qwert123838]

Und wie wäre es bei 2x^2-8x-2

[evtldocha]

@Qwert123838

2·(x - 2)² - 10

[Qwert123838]

Wie wäre es denn mit der binomischen Formel denn ich glaube mit der sollten wir das machen.

[evtldocha]

@Qwert123838

Ich habe im PS: geschrieben, dass es im ersten Fall einen einfachen Weg gibt, der aber nicht immer funktioniert. Schon in Deinem zweiten Beispiel geht das nicht mehr.

Andererseits: Die quadratische Ergänzung zielt immer darauf ab, dass man eine binomische Formel anwenden kann (die erste oder zweite). Das ist der ganze Sinn der quadratischen Ergänzung, aber auch das habe ich in Klammer geschrieben. Insofern ist Dein "ich glaube mit der sollten wir das machen" immer Bestandteil der Umformung aus der Normalform in die Scheitelpunktform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und das direkte Umformen mit einer binomischen Formel geht nur in den wenigen einfachen Speziallfällen, in denen der Scheitelpunkt bei y=0 liegt.

Answer 3

[Halbrecht]

schnell form hier

2*(x² + 2x + 1)

die 2 von 2x halbieren

2*( ( x + 1 )² minus 1 + 1 ) 

die minus 1 muss sein , weil (x+1)² = x²+2x+1 ist ,die hintere 1 also zuviel da wäre

2*( (x+1)² - 1 + 1 ) 

2*( (x+1)² + 0 ) 

2*(x+1)²

ist die SP Form 

wenn e = 0 , wird es nicht hingeschrieben , man weiß , dass der SP bei ( - 1 / 0 ) liegt , also auf der x-achse