Varianz des Stichprobenmittels beim Ziehen ohne Zurücklegen?

Hallo ihr lieben,

ich habe gerad ein bisschen Probleme bei folgender Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Die Aufgabe im Wortlaut:

Meine bisherigen Ansätze:

a) i) Erwartungswert E (x) = 1/2 * 10 + 1/6 * 5 + 1/3 * 20 = 12,5

ii) Varianz: (10 - 12,5)² 1/2 + (5 - 12,5)² * 1/6 + (20 - 12,5)² * 1/3 = 31,25

iii) Wurzel von 31,26 = 5,5902

b)

α) Es weden alle Individuen gezogen. Der Ausgang ist deterministisch und damit $Var\ \left(X1+....+X_{90}\right)\ =\ 0$ (richtig oder Quatsch?)

β)Für die Kovarianz habe ich folgende Formel im Internet gefunden

$Var\ \left(X_1+...+X_{90}\right)\ =\ \sum_{i\ =\ 1}^{90}Var\ \left(X_i\right)+\sum_{i\ \ne j}^{ }Cov\ \left(X_i,\ X_j\right)$

$\sum_{i=1}^{90}Var\left(X_i\right)$ ist die Varianz, also 31,25. Aber was ist der hintere Term, also $\sum_{i\ \ne j}^{ }Cov\ \left(X_{i,}X_j\right)$

γ)Hier hätte ich gesagt 1/30 * 31,25 = 1,0412. Hier bin ich mir nicht sicher, ob es nicht doch zu einfach ist.

c) Auch hier wieder eine Formel durch Internetrecherche

$\ \frac{p\left(1-p\right)}{n}$ Für n hätt' ich jetzt 30 eingesetzt, da dies die Stichprobengröße ist. Aber was ist p, wenn die Abweichung 2 sein soll? 200 %?

Im Skript ist die Ungleichung von Chebyshev wie folgt definiert:

"Y sei eine reellwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert μ. Dann gilt für alle ε >0: P(|Y−μ|≥ε) ≤ \frac{1}{ε^2}Var[Y] ".

Den Erwartungswert und die Varianz habe ich aus Aufgabenteil a). Aber was wären Mü und Epsilon?

Danke und liebe Grüße

Answer 1

[KarlRanseierIII]

Zu Tschebyscheff schauste mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheffsche_Ungleichung

bzw. direkt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheffsche_Ungleichung#Verallgemeinerung_auf_h%C3%B6here_Momente