Was ist die Summenreihenentwicklung des Pochhammer Symbols?

Kurze Frage: Was ist die Summenreihenentwicklung des Pochhammer Symbols?

In Mathworld über das Pochhammer Symbol steht als geschlossende Form eine Summenreihenentwicklung mit

$\left(x\right)_n=\sum_{k=0}^n\left(\left(-1\right)^{n-k}\cdot s\left(n,\ k\right)\cdot x^k\right)$

wobei s(n, k) die Stirling Zahl der ersten Art ist.

Im Mathworld Artikel zur Stirling Zahl der ersten Art steht jedoch als Potenzreihentwicklung für die Stirling Zahl der ersten Art

$\left(x\right)_n=\sum_{k=0}^n\left(s\left(n,\ k\right)\cdot x^k\right)$

Aber die beiden Reihentwicklungen sind doch unterschiedlich:

$\left(x\right)_n=\sum_{k=0}^n\left(\left(-1\right)^{n-k}\cdot s\left(n,\ k\right)\cdot x^k\right)\ne\sum_{k=0}^n\left(s\left(n,\ k\right)\cdot x^k\right)=\left(x\right)_n$

Eine andere verbreitete Schreibweise des Pochhammer Symbols ist

$\left(x\right)_n=\left(x,\ n\right)\equiv\frac{\Gamma\left(x+n\right)}{\Gamma\left(x\right)}$

wobei Gamma(x) für die vollständige Gammafunktion von x steht.

Answer 1

[Mathmaninoff]

https://mathepedia.de/Pochhammer-Symbol.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Pochhammer-Symbol

https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials

https://de.wikipedia.org/wiki/Fallende_und_steigende_Faktorielle

Nach den Artikeln kann je nach Kontext mit (x)ₙ die fallende oder steigende Faktorielle gemeint sein.

Answer 2

[scientifically]

Hallo!

Das Pochhammer-Symbol ist eine Notation, die in der Mathematik verwendet wird, um eine Folge von Zahlen darzustellen, die sich aus der Iteration einer bestimmten Funktion ergibt. Die Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols gibt die Möglichkeit an, das Pochhammer-Symbol als Summe von Termen auszudrücken, die durch bestimmte Zahlenfolgen definiert sind.

Die Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, je nachdem, welche Art von Zahlenfolge verwendet wird. Eine häufig verwendete Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols ist die binomische Formel, die das Pochhammer-Symbol als Summe von binomischen Koeffizienten darstellt:

(a+b)^n = Σ(n,k) * a^k * b^(n-k)

Hierbei ist Σ(n,k) der binomische Koeffizient, der durch die Formel (n über k) gegeben ist:

Σ(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

Diese Summenreihenentwicklung des Pochhammer-Symbols wird häufig verwendet, um das Pochhammer-Symbol in andere Formen umzuformen oder um bestimmte Eigenschaften des Pochhammer-Symbols zu untersuchen.

Es gibt auch andere Summenreihenentwicklungen des Pochhammer-Symbols, die auf verschiedenen Zahlenfolgen basieren, wie beispielsweise die Hypergeometrische Reihe oder die Gegenbauer-Reihe. Diese Summenreihenentwicklungen können verwendet werden, um bestimmte Eigenschaften des Pochhammer-Symbols zu untersuchen oder um das Pochhammer-Symbol in andere Formen umzuformen.

Weiteres hier:

https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/pochhammer-symbol

Comments

[Halbrecht]

KI :((( stöhn und der Link wirkt wie suchmaschinentreffer Nummer 1

[scientifically]

@Halbrecht

Tut mir leid. Bin zu faul meine NI zu benutzen. Den Link habe ich aber selbst rausgesucht und ist nicht abhängig von der Antwort.

Answer 3

[eterneladam]

Was ist dir nach der Antwort von Mathmaninoff noch unklar?

Mathworld schreibt selber: "Extreme caution is therefore needed in interpreting the notations...." und verwendet prompt das Symbol x_n in der Definition für die steigende Faktorielle, während nach "In closed form...." die fallende gemeint ist.