Wie berechne ich die Taylorreihe für a^x, a>0?

Hallo,

Und zwar muss ich die Taylorreihe für a^x berechnen. Nur irgendwie helfen mir die Aufschriebe und YT Videos nicht weiter. Könnte mir jemand zeigen wie das jetzt für a^x berechnet werden müsste?

MFG

Answer 1

[LoverOfPi]

Beispielhaft für x0=0:

Zuerst gilt f^(n)=ln(a)^n*a^x

T(x,0)=

1+ln(a)x+ln(a)²/2*x²+ln(a)³/6*x³+...

Für andere Werte für x_0 musst du das noch variieren, es ist dann etwas schwerer, aber ähnlich.

Answer 2

[verreisterNutzer]

Die Frage macht jetzt so keinen Sinn, wenn kein Punkt x₀ gegeben ist, um den die Taylorreihe entwickelt werden soll.

Für den Entwicklungspunkt x₀ = 0 sollte das herauskommen, was in meiner Antwort zur Frage https://www.gutefrage.net/frage/wie-kann-ich-in-wolframalpha-eine-potenzreihe-berechnen schon steht.

Allgemein gilt für die n-te Ableitung:

$f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(\ln\left(a\right)\right)^n\cdot e^{\ln\left(a\right)\cdot x}=\left(\ln\left(a\right)\right)^n\cdot a^x$

Und wenn nun x₀ = 0 bleibt davon ein

$f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left(\ln\left(a\right)\right)^n\cdot a^0=\ \left(\ln\left(a\right)\right)^n$

übrig.