Frage zu Poisson Verteilung und Linearer Transformation?

Aufgabe:
Die Zufallsgröße X sei poissonverteilt mit dem Parameter $\lambda>\ 0.$ Bestimmen Sie für die Zufallsgröße Y = 3X + 2 den Erwartungswert E(Y) und die Varianz D²(Y).

Meine Lösung zum ersten Teil:
$E\left(Y\right)=E\left(3X+2\right)=3\cdot E\left(X\right)+2=3\cdot\lambda+2$

Die stimmt auch soweit laut der Musterlösung.

Zweiter Teil:

Allerdings komme ich nicht wirklich drauf, wie man nun die Varianz von Y berechnet.
In der Musterlösung steht, dass da rauskommen muss: $D^2\left(Y\right)\ =9\cdot\lambda$ Aber wie genau kommt man darauf?

Mein Ansatz wäre gewesen, das über das 2-te zentrale Moment für eine diskrete Zufallsgröße auszurechnen, weil da ja gilt:

$D^2\left(X\right)\ =\ E\left(\left(X-\mu\right)^2\right)$ bzw. hier eingesetzt dann:

$D^2\left(Y\right)=E\left(\left(Y-\mu\right)^2\right)$

$D^2\left(Y\right)=E\left(\left(Y-E\left(Y\right)\right)^2\right)$

$D^2\left(Y\right)=E\left(\left(\left(3X+2\right)-\left(3\lambda+2\right)\right)^2\right)$

Das wird beim ausmultiplizieren aber alles echt hässlich, bzw. bin ich schon mehrmals am Ende auf 0 gekommen.

Ich habe das Gefühl, dass ich etwas offensichtliches übersehe.

Vielen Dank schonmal, falls jemand helfen kann :)

Answer 1

[Jangler13]

Weißt du denn Schon, dass die Varianz der Poisson Verteilung gleich Lambda ist?

Du erhälst dann:

Var(3X+2) = Var(3X) = 9*Var(X) = 9*Lambda

Wobei der Fakt genutzt wird, dass die Addition von konstanten die Varianz nicht ändert und dass du das Quadrat von Vorfaktoren rausziehen kannst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[8rbjzz0]

Dass man das so umstellen kann, war mir noch nicht bekannt, danke jedenfalls

Answer 2

[Mathmaninoff]

Das sieht doch gut aus.

Auflösen der inneren Klammern und ausklammern von 3. $D^2(Y) = E\left( \left( 3(X - \lambda) + 2 - 2 \right)^2 \right)$

Quadrieren und Linearität des Erwartungswertes: $D^2(Y) = 9 E\left( \left( X - \lambda \right)^2 \right)$

Der Erwartungswert rechts ist die Varianz der Poissonverteilung und die ist λ.

Comments

[8rbjzz0]

Jap vielen Dank, habs einfach vermasselt das richtig auszurechnen ^^