Schwieriges Flächeninhalt Aufgabe, wie kann ich das lösen ?
Hallo,
Mein Lehrer gab mir eine Matheaufgabe, die ich machen und präsentieren sollte. Ich habe es versucht und bin hilflos. Kann Jemand mir bitte helfen?
5 Antworten
Hallo,
der Sektor hat ein Sechstel der Fläche des großen Kreises mit Radius R, also (1/6)pi*R².
Davon ziehst Du die Fläche des kleinen Kreises mit Radius r, also pi*r² ab.
Die Preisfrage lautet natürlich: Wie groß ist r?
Das läßt sich berechnen, indem man überlegt, wie man den kleinen Kreis denn konstruieren kann. Sein Mittelpunkt muß auf jeden Fall auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels von 60° liegen. Wo diese Winkelhalbierende den Kreisbogen schneidet, liegt einer der drei Berührpunkte des kleinen Kreises, die beiden anderen sind dann da, wo die Fußpunkte des Mittelpunktes m des kleinen Kreises auf den Radien des großen Kreises liegen, die den Sektor eingrenzen.
Ziehst Du nun vom Berührpunkt B des kleinen Kreises am Bogen des großen Kreises (Schnittpunkt Winkelhalbierende, Bogen) eine Senkrechte nach unten, schneidet diese den Radius R des großen Kreises in Punkt P (Benennungen der Punkte willkürlich, solange eindeutig), und das Dreieck M (Mittelpunkt des großen Kreises) PB ist ein rechtwinkliges mit Winkel PMB 30° und dem rechten Winkel MPB. Zeichne Dir das auf jeden Fall auf, wenn Du nicht das Vorstellungsvermögen eines Blindschachspielers hast.
Es gilt: sin (30°)=BP/R, also BP=R*sin (30°)=0,5 R, denn sin 30°=0,5.
Nun kommt der zweite Strahlensatz ins Spiel, denn vom gesuchten Mittelpunkt m des kleinen Kreises aus läßt sich ebenfalls eine Senkrechte auf MP ziehen, die MP im Punkt Q (auch willkürlich benannt) schneidet. mQ ist aber nichts anderes als r, der Radius des kleinen Kreises K (m;r).
Es gilt nach dem Strahlensatz: BP/R=r/(R-r) und da BP=0,5 R:
0,5R/R=r/(R-r) und nach Kürzen auf der linken Seite:
0,5=r/(R-r).
Das nach r aufgelöst ergibt den Zusammenhang r=(1/3)R.
Herzliche Grüße,
Willy
Der innere Kreis mit dem Radius r berührt den Kreisbogen des Sektors an einer bestimmten Stelle D. Der Mittelpunktswinkel wird durch die Strecke AD zweigeteilt. Das Lot von D auf AB nenne ich y. Es gilt:
y / r_1 = sin(30°) = 1 / 2
(1) y = r_1 / 2
Strahlensatz:
(2) y / r_1 = r / (r_1 - r)
(1) eingesetzt führt zu
r = r_1 / 3
Damit ist die Aufgabe schon fast gelöst. Den Rest schaffst Du.
Mann kann dieses Gebilde mehrfach an den Segmentgrenzen spiegeln. Dann bilden die angedeuteten Radien r_2 ein regelmässiges Sechseck. Darum bildet sich an der markierten Stelle ein 60° Winkel heraus. Somit kann über den Cosinus folgende Beziehung zwischen dem Kreismittelpunkt r_x und seinem Radius r_2 aufgestellt werden
Der Kreismittelpunktsabstand r_x und der Kreisradius r_2 müssen zusammen den großen Radius r_1 bilden. Es gilt
Mit
gilt
Daraus lassen sich die Segmentfläche und die Kreisfläche berechnen, die hinfort alle allein durch r_1 ausgedrückt werden.
Den Radius des Außenkreises muss du erstmal selbst festlegen, z.B. 10 cm)
Es gibt einen Kreisausschnitt - den kannst du berechnen (ist 1/6 der gesamten Kreisfläche - wegen des 60 Grad Winkels).
Von der Fläche des Kreisausschnittes muss man die Fläche des kleinen Innekreises abziehen.
Um die Angaben zum Innenkreis zu erhalten, habe ich im Moment keine Idee.
Ich habe es probiert, bin aber immer im Kreis gelaufen.... letztlich hilft aber Youttube
der Rest: Flöäche des Kreissektors. minus der der Fläche des Inkreises
