Rotation um die y-Achse Paraboloid...?
Wie löst man diese Aufgabe? Vorallem stellt sich für mich die Frage, wie man die Grenzen des Integrals hier herausfinden soll...
3 Antworten
nachdem man z.B so :::::
x1 = 4 dm (aus "unterer Durchmesser 8 dm")
x2 = 5 dm (aus "oberer Durchmesser 10 dm")
y1 = a * (4 dm)^2
y2 = a * (5 dm)^2
y2 - y1 = 6 dm
.
f(x) = 2/3 * x² bestimmt hat
und die Umkehrfkt : eine Wurzelfkt
fU(x) = +(3/2 * x)^0.5
.
Punkte (32/3 ///// 4)
und
( (32/3 + 6) ///// +(3/2*(32/3 + 6)^0.5 ) = (50/3 ///// 5)
.
Grenzen daher bei 32/3 und 50/3
Da man Rotationskörper üblicherweise mit einer Rotation um die x-Achse berechnet, sollte man hier die Umkehrfunktion betrachten (und zwar nur einen der Äste der Wurzelunktion).
Aus den Durchmessern kannst du die Radien bestimmen, aus den Radien die zugehörigen x-Werte (im Original) bestimmen und daraus die y-Werte (im Original).
Der Rest ist Einsetzen in die Formeln für den Rotationskörper und Auflösen einer Gleichung.
Die Funktionsgleichung der Parabel hat offensichtlich die Form
y = a x^2
Aus den gegebenen Werten kann man a berechnen.
x1 = 4 dm (aus "unterer Durchmesser 8 dm")
x2 = 5 dm (aus "oberer Durchmesser 10 dm")
y1 = a * (4 dm)^2
y2 = a * (5 dm)^2
y2 - y1 = 6 dm
Das lässt sich nach a auflösen.
a x^(1/2) = 4; a(x +6)^(1/2) = 5 --> a = sqrt(3/2), x = 32/3
x größer als 10 kann nicht sein - das Bild ist einigermaßen genau.
Ich habe die Parabel entsprechend deine Empfehlung zu einem Wurzelast gekippt, die 32/3 scheinen mir daher gut zu passen.
Das stimmt für die Untergrenze für die Wurzelfunktion. (Die Umkehrfunktion hatte ich zwischendurch vergessen.)
Vielleicht hilft dir dieser Ausschnitt aus meinem alten Unterrichtskonzept weiter.
Meine Unterrichtskonzepte findest du unter https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
schön und gut : aber wie findet man hier überhaupt eine Fkt ? Keine exakt ablesbaren Werte sehe ich