Polynomdivision, faktorisieren, nullstellen?
Hallo,
Punkt 1. Wie erkenne ich wie viele Nullstellen in einer Funktion vorhanden sind? „Mit dem höchsten Exponenten“sind die Lösungen von meinem Prof nicht schlüssig. Weil zb bei einer Funktion mit x^3 ist manchmal nur eine Nullstelle vorhanden. Wie erkenne ich die Anzahl der Nullstellen?
Punkt 2. Wie faktorisiert man richtig anhand der Nullstellen? Faktorisieren an sich ist mir bewusst, aber nicht worauf ich achten muss bei einer Aufgabe wie auf dem Bild, was ich hier reingeschickt hab. Es geht um die 2. Aufgabe, kann mir das vielleicht jmd vorrechen, damit ich weiß wies geht?
5 Antworten
Die Aussage des Profs ist richtig. Der Satz findet sich bei Wiki bei dem Fundamentalsatz der Algebra.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra#Satz
(x-1)² ist eine doppelte Nullstelle. Die Linearfaktoren lassen sich schreiben als
(x-1)*(x-1)*(x+2), um zu sehen, dass es drei sind, wenn man die doppelte Nullstelle doppelt zählt.
Ob eine mehrfache Nullstelle vorliegt, kann man an der Funktionsdarstellung in der ersten Spalte nicht erkennen.
Wenn du Polynomdivision mit der einfachen Nullstelle durchführst, bekommst du eine quadratische Gleichung. Ist bei der pq-Formel der Wert unter der Wurzel (Diskriminante) 0, ist das Ergebnis der pq-Formel eine doppelte Nullstelle.
Wenn du hingegen die Polynomdivision mit der doppelten Nullstelle durchführst (von der du zu dem Zeitpunkt nicht weißt, dass sie doppelt ist), erhältst du eine Quadratische Gleichung, deren Lösung die einfache Nullstelle ist und die doppelte (nochmal).
Nach dem
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra
hat ein Polynom vom Grad n in R höchstens n und in C genau n Nullstellen.
Hat ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (wie die Polynome im Beispiel) ganzzahlige Nullstellen, so stecken diese als Faktor im letzten Glied. Z.B. für das Beispiel 3, dort kommen nur 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 und -6 als ganzahlige Nullstellen in Frage. Das hilft dabei die Nullstellen zu erraten. Wenn du eine Nullstelle x0 erraten hast, kannst du den Linearfaktor (x - x0) abdividieren. Hierzu benötigst du die Polynomdivision, die ihr am Ende der 10ten oder Anfang der 11ten Klasse gelernt haben solltet. Zur Auffrischung
https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html
Beim zweiten Beispiel liegt bei x0 = 1 eine doppelte Nullstelle vor. Dies merkt man, wenn man den ersten Faktor (x - 1) abdividiert hat und fest stellt, dass das resultierende quadratische Polynom ebenfalls bei x0 = 1 eine Nullstelle hat. Daraus resultiert dann in der Zerlegung das (x - 1)^2
Wie man die erste Nullstelle errät ist mir schon klar, meistens liegt die ja zwischen -1/1 und -3/3. Dass man mit der ersten errratenen Nullstelle die Polynomdivision macht ist mir klar. Danach folgt die pqformel um x2,x3 rauszufinden.
und zum 2. punkt: ich versteh nicht woran ich anhand der polynom erkennen soll, dass x0 schon wieder 1 ist. wenn ich x-1 abdividiere kommt ja als antwort x^2-5x +6 . also woran seh ich die doppelte nullstelle?
Bei einer doppelten Nullstelle,berührt der Graph nur die x-Achse.
Es findet dann kein Vorzeichen wechsel statt !!
bei f(x)=x³-3*x+2 hier x1=0,9 und x2=1,1 prüfen ob ein Vorzeichenwechsel statt findet.
auch mit x3=-1,9 und x4=-2,1
Auf den ersten Blick kannst du nur sagen, dass eine
Funktion mit ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle
hat und bei Grad n (gerade oder ungerade) höchstens n Nullstellen,
jeweils in R.
Bei einer Funktion dritten Grades musst du die
erste Nullstelle immer raten; wie gesagt gibt es immer eine.
wenn du das Hornerschema benutzt, merkst du, dass 1 eine doppelte NS ist;
beim Raten kommst du auf 1 und dann bei der pq-Formel auf 1 und -2 ; also ist 1 ne doppelte NS
Horner Schema
10-3 2
01 1 -2
------------------
1 1 -2
vermutlich wird es hier verrutscht dargestellt.
Check ich nicht. x-1 okay das ist von der Polynomdivision aber warum hoch 2 ? Und was meinst du mit doppelte Nullstelle? Ich bin sehr schlecht in Mathe und versteh nicht das was auf Wikipedia steht. Mein Problem ist, ich habe die Regeln stumpf auswendig gelernt nach Reihenfolge und diese ist für mich 1. Nullstelle erraten , 2. Polynomdivision mit dieser Nullstelle machen , 3. Ergebnis von polynom für pq formel benutzen. Mein Problem ist, dass ich dadurch ja immer nur 3 nullstellen rauskriegen würde und ich nicht verstehe wann ich aufhören sollte vllt und ob wenn es nur eine nullstelle gibt man die polynomdivision trz benutzen muss?