Horner-Schema Polynom?
Ausgehend vom Horner-Schema sind (-1+i) und (-i) Nullstellen.
Doch wie schaffe ich, dieses Polynom noch weiter zu faktorisieren.
Gibt es eine einfachere Methode außer Polynomdivision (mit den komplexen Zahlen)?
2 Antworten
Sieht so aus, als hätte die Funktion Nullstellen bei z=(-1+i) und z=(-i). Ist eine komplexe Zahl Nullstelle, so ist die komplex-konjugierte Zahl auch eine. Sprich, die Funktion hat auch Nullstellen bei z=(-1-i) und z=(i). Die kann man erstmal (mit ein bisschen Rechenarbeit) zu einem Polynom zusammenfassen:
(z-i)(z+i)(z-(-1+i))(z-(-1-i)) = x^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 2
Das zerlegen lässt sich dann ganz gut mit dem Horner-Schema machen. Hier eine kleine Anleitung:
Horner-Schema zeichnen und dabei oben die Faktoren deines Polynoms p(z) nach Exponenten sortiert (von links nach rechts absteigend) darüber schreiben. Links schreibst du die Vorfaktoren deines abzuspaltenden Polynoms (von oben nach unten aufsteigend, ohne die höchste Potenz und mit gedrehtem Vorzeichen) ab. Also ca. so wie in den pinken Kästchen:
Anschließend rechnest du nach unten Summen und diagonal nach rechts oben Produkte aus, bis du ganz rechts oben angekommen bist. jetzt hast du ganz unten dein Restpolynom in Form eines Schlechten Witzes. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich dann noch die Linearfaktoren (z+2) und (z+3)
Das faktorisierte Polynom sieht also so aus: p(z) = (z+2)(z+3)(z-i)(z+i)(z-(-1+i))(z-(-1-i))
Beste Grüße
Der Capitän
Beachte, dass das Polynom nur reelle Koeffizienten besitzt. Dies bedeutet, dass es nur vollständig reelle oder komplex konjugierte Paare als Nullstellen besitzt. Entsprechend sind -1 + i und i ebenfalls Nullstellen des Polynoms. Hieraus reduziert sich das Problem nach einer Polynomdivision auf das Bestimmen der Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades, ein Standardproblem.
Ps: Man überzeugt sich leicht von der Korrektheit der Aussage über die reellen Koeffizienten, wenn man mal ein Polynom als Produkt seiner Linearfaktoren darstellt und ausmultipliziert (für die Bestimmung der Koeffizienten).