Sieht so aus, als hätte die Funktion Nullstellen bei z=(-1+i) und z=(-i). Ist eine komplexe Zahl Nullstelle, so ist die komplex-konjugierte Zahl auch eine. Sprich, die Funktion hat auch Nullstellen bei z=(-1-i) und z=(i). Die kann man erstmal (mit ein bisschen Rechenarbeit) zu einem Polynom zusammenfassen:

(z-i)(z+i)(z-(-1+i))(z-(-1-i)) = x^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 2

Das zerlegen lässt sich dann ganz gut mit dem Horner-Schema machen. Hier eine kleine Anleitung:

Horner-Schema zeichnen und dabei oben die Faktoren deines Polynoms p(z) nach Exponenten sortiert (von links nach rechts absteigend) darüber schreiben. Links schreibst du die Vorfaktoren deines abzuspaltenden Polynoms (von oben nach unten aufsteigend, ohne die höchste Potenz und mit gedrehtem Vorzeichen) ab. Also ca. so wie in den pinken Kästchen:

Anschließend rechnest du nach unten Summen und diagonal nach rechts oben Produkte aus, bis du ganz rechts oben angekommen bist. jetzt hast du ganz unten dein Restpolynom in Form eines Schlechten Witzes. Mit der Mitternachtsformel ergeben sich dann noch die Linearfaktoren (z+2) und (z+3)

Das faktorisierte Polynom sieht also so aus: p(z) = (z+2)(z+3)(z-i)(z+i)(z-(-1+i))(z-(-1-i))

Beste Grüße

Der Capitän