Orte eines Gipfels mittels Höhenprofils bestimmen.?

Wußtet ihr, daß Hühnerküken einen Bauchnabel haben?
Tja, was ich nicht weiß ist die Lösung folgender Aufgae

Einen Ansatz muss ich natürlich auch liefern, das ist ja klar

i) Also ich hätte jetzt einfach die partiellen Ableitung nach x,y und z gebildet.

dV/dx = y² + z² 3²

dV/dy = 2yx + e^(-yz) (-z)

dV/dz = 2zx³ + e^(-yz) (-y)

=> ∇ V (x,y,z) = (y² + 3z² x², 2xy+ ze^(-yz), 2zx³ - ye^-yz).

=> d/dt V (x,yz) = dV/dx * dV/dt + dV/dt * dy/dt + dV/dz * dz/dt

= (y² + 3z² x²) dx/dt + (2xy + ze^(-yz) dy/dt + (2zx³ - ye^(-yz)) dz/dt.

Jetzt ist das Problem, daß ich ja noch dx nach dt irgendwie unterbringen muss. Aber es taucht ja nirgendswo im Ausdrucke in "t" auf.
Unsere Tutorin meinte, dass x,y,z ja zeitabhängig sind und darin dann das t auftaucht. Als Hinweis hat sie uns noch an die Tafel geschrieben: dV/dt = dV/dx * dx/dt , wobei dx/dt = x' wär.
Ich bin verwirrt. Ich dachte dv/dx wär die Ableitung nach x.
Mir ist schon bewusst, daß wenn x,y und z zeitabhängig sind, dass dann so in die Richtung "Irgendwas mal t" geht, aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch ausdrücken soll.

ii) dh/dx = exp (-√(x-2,5)²+(y+3)² *(x-2,5)/√(x-2,5)²+(y+3)² - 0,2 (x+1,5)/√(x+1,5)²+(y-2)²

dh/dy = -exp (-√(x2,5)²+(y+3)² * (y+3)/√(x-2,5)²+(y+3)² - 0,2 (y-2)/√(x+1,5)²+(y-2)²

Jetzt wollen die aber bei dem Ort bestimme ne Koordinate hören.
Ich weiß aber nicht, was ich da einsetzen soll.
Google meint, man soll jetzt dh/dx und dh/dy schätzen bis x' = x+ Delta x und y' = y + Delta y und die Abstände infinitesmimal klein werden. Habt dann in dh/dx und dh/dy jeweils für (x,y) = (0,0), (1,1,) (-1,-1) und (3,3) eingesetzt. Kam ((-0,132802 ; -0,1146) , (-1,004 ; ,-0611), (-0,343 ; -0,118) und (0,010591; 2,55163) raus.
Und das ist ja auch nicht der wahre Hugo.

Mit freundlichen Grüßen,
Tobias Heinken

Answer 1

[RitterToby08]

dV/dt = dV/dx * dx/dt

Das stimmt auf jeden Fall nicht. Es gibt zwei Lösungen. Eine lange und eine kürzere. Die lange benutzt, dass V(x,y,z)(t) eine Funktion von R nach R ist, von der du einfach die Ableitung bilden kannst. Wichtig ist auch, dass du die Ableitungen von x,y,z nicht kennst. Daher notiere die Ableitungen davon als die jeweiligen Variablen mit einem Punkt darüber. Wichtig ist auch richtig abzuleiten. Als Beispiel (ich kann hier leider keine Punkte machen. Daher verwende ich '):

$\frac{d}{dt}\left(xy^2\right)=x'y^2+2xyy'$ Du leitest ja die Funktionen x und y ab!

Die zweite Möglichkeit ist die Kettenregel. An diese wird deine Tutorin auch gedacht haben:

$\frac{d}{dt}V\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)=\nabla V\left(x,y,z\right)\left(t\right)\cdot\left(x'.y'.z'\right)$ Also die Ableitung nach t entspricht dem Skalarprodukt aus dem Gradienten ausgewertet in t und den Ableitungen der Funktionen x,y,z. (Anm. Die Punkte am Ende sollten Kommas sein).

ii) Weißt du wie man Extremstellen von mehrdimensionalen Funktionen berechnet? Bzw. von Funktionen der Form:

$h:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ Dazu musst du den Gradienten bilden und dessen Nullstellen berechnen. Also wie bei 1-dim. Funktionen die Ableitung gleich 0 setzen. Dann kann es aber wieder Hoch-, Tief- und Sattelpunkt geben. Die Gipfel sind natürlich Hochpunkte. Um diese bestimmen zu können, musst die die Hesse-Matrix bilden und überprüfen, ob sie in den Extremstellen negativ definit ist. Die Hesse-Matrix ist die höherdimensionale Verallgemeinerung der zweiten Ableitung als Kriterium um die Extremstellen genauer zu untersuchen.