Fallender Wassertropfen
Hallo, vielleicht kann mir jemand bei einem Problemchen aus meinem Lehrbuch zur theoretischen Mechanik helfen: Ein kugelförmiger Wassertropfen mit Radius R, Volumen V und Masse m soll fallen, wobei seine Masse wegen des Wasserdampfes proportional zu seiner Oberfläche anwächst. Auf ihn soll neben der Schwer- eine Reibungskraft wirken, die ich aber erst mal außen vor lassen will.
Es ist also(x-Richtung nach unten, dx/dt=:v, dv/dt=:a) dp/dt = mg, d.h. (dm/dt)v + ma = mg
Es ist dann wohl dm/dt = cpiR^2, wobei R von t abhängt. Dann ist ja m-m_0 = c*pi*1/3 R(t)^3
Die Bewegungsgleichung soll integriert werden, indem R anstelle von t als unabhängige Variable eingeführt wird. Ich weiß aber gerade nicht, wie ich da vorgehen soll.
3 Antworten
Der Radius wächst linear mit der Zeit (nicht schwer zu erkennen). Die Bewegungsgleichung m x'' = g bekommt dann die Form (m+a t) x'' = g oder
x'' = g/(m + a t)
Daraus folgt
v(t) = x' = g log(m + a t)
Das läßt sich noch einmal nach t integrieren, und man erhält x(t).
ein paar Ideen bzw. Gedanken, die ich mir gemacht habe: dm/dt ist wie gesagt c * pi * R^2 oder (mit Blick auf später:) c * 4 * pi * R^2, wobei c irgendeine Konstante ist. Wegen m = 4/3 * pi * rho * R^3 erhält man also durch Ableiten nach der Zeit dR/dt = c/rho.
mit dm/dt * v + m*dv/dt = mg ergibt sich dann, nachdem man durch m geteilt hat:
dv/dt + 3/4 c/rho * v/R = g
Und mit v=v(R), mithilfe von dv/dt = dv/dR * dR/dt dann: dv/dR + 3/4 v/R = rho/c * g
Die DGL für v(R). Ich bin aber noch nicht sicher, ob mich das weiter bringt.
Und mir erschließt sich nicht, wieso die Masse wachsen soll! Wird etwa der Unsinn angenommen, dass der Wasserdampf am fallenden Tropfen kondensiert?
Der Tropfen soll durch eine Wolke fallen. Ob das tatsächlich realistisch ist oder nicht kann ich zwar nicht beurteilen, aber das tut ja sowieso nichts zur Sache.
Das ist nicht richtig, ich glaube, mein Ansatz war korrekt. Falls es jemanden interessiert:
das ist der Ansatz, jetzt etwas übersichtlicher notiert.
mit
erhält man
Dann ist also
So, wegen v'(t) = v'(R)R'(t) = v'(R)a ist also
Lösung der DGL (A*R als Ansatz für eine partikuläre Lösung) ergibt
Mit v(R0) = 0 und unter Berücksichtigung von R(t) = R0 + a*t erhält man dann
Das kann man jetzt weiter Integerieren, wenn man will.