2 Kugel verbunden auf schiefer Ebene?
Ich brauche einen Ansatz:
Masse M jeweils Radien R1 und R2
messeloses Seil und masselose Rolle auf Dreiecksspitze
keine Reibung
Stellen Sie mit dem Energieansatz die Bewegungsgleichung der Kugel auf
und bestimmen Sie mit M=rxF das Drehmoment auf die linke Kugel. und den Betrag der Seilkraft bestimmen mit M=dL/dt
1 Antwort
Energieansatz
Die Gesamtenergie der linken Kugel setzt sich aus translatorischer und rotatorischer Energie zusammen:
E = E_t + E_r = 1/2mv^2 + 1/2Iω^2
Da die Kugel keine Reibung erfährt, ist die Gesamtenergie konstant. Dies bedeutet, dass die Summe der Kräfte, die auf die Kugel wirken, null ist:
∑F = 0
Die Kräfte, die auf die Kugel wirken, sind die Gewichtskraft, die Normalkraft und die Seilkraft. Die Gewichtskraft wirkt nach unten, die Normalkraft wirkt senkrecht zur Ebene und die Seilkraft wirkt entlang des Seils.
F_g - N - T = 0
Bestimmung des Drehmoments
Das Drehmoment auf die Kugel ist das Produkt aus dem Abstand des Kraftarms und der Kraft:
M = rF
In diesem Fall ist der Kraftarm der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Seilrolle. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen den beiden Kugeln:
r = R1 + R2
Die Kraft ist die Seilkraft.
M = (R1 + R2)T
Bestimmung der Seilkraft
Die Seilkraft ist das Produkt aus der Masse der Kugel, der Beschleunigung und dem Abstand zwischen den beiden Kugeln:
T = m(a + g)
Die Beschleunigung der Kugel kann aus der Bewegungsgleichung der Kugel bestimmt werden.
Aufstellung der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung der Kugel lautet:
F_g - N - T = ma
Die Gewichtskraft wirkt nach unten und hat einen Betrag von mg. Die Normalkraft wirkt senkrecht zur Ebene und hat einen Betrag von mgcosβ. Die Seilkraft wirkt entlang des Seils und hat einen Betrag von T.
mg - mgcosβ - T = ma
Die Masse der Kugel ist gleich der Masse der rechten Kugel, also M.
Mg - Mgcosβ - T = Ma
Die Beschleunigung der Kugel kann durch Umstellen der Gleichung bestimmt werden:
a = g(1 - cosβ) - T/M
Ergebnis
Die Bewegungsgleichung der Kugel lautet:
a = g(1 - cosβ) - T/M
Das Drehmoment auf die Kugel ist:
M = (R1 + R2)T
Der Betrag der Seilkraft ist:
T = m(a + g)
Diese Gleichungen können verwendet werden, um die Bewegung der beiden Kugeln zu berechnen.