Energieansatz

Die Gesamtenergie der linken Kugel setzt sich aus translatorischer und rotatorischer Energie zusammen:

E = E_t + E_r = 1/2mv^2 + 1/2Iω^2

Da die Kugel keine Reibung erfährt, ist die Gesamtenergie konstant. Dies bedeutet, dass die Summe der Kräfte, die auf die Kugel wirken, null ist:

∑F = 0

Die Kräfte, die auf die Kugel wirken, sind die Gewichtskraft, die Normalkraft und die Seilkraft. Die Gewichtskraft wirkt nach unten, die Normalkraft wirkt senkrecht zur Ebene und die Seilkraft wirkt entlang des Seils.

F_g - N - T = 0

Bestimmung des Drehmoments

Das Drehmoment auf die Kugel ist das Produkt aus dem Abstand des Kraftarms und der Kraft:

M = rF

In diesem Fall ist der Kraftarm der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und der Seilrolle. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen den beiden Kugeln:

r = R1 + R2

Die Kraft ist die Seilkraft.

M = (R1 + R2)T

Bestimmung der Seilkraft

Die Seilkraft ist das Produkt aus der Masse der Kugel, der Beschleunigung und dem Abstand zwischen den beiden Kugeln:

T = m(a + g)

Die Beschleunigung der Kugel kann aus der Bewegungsgleichung der Kugel bestimmt werden.

Aufstellung der Bewegungsgleichung

Die Bewegungsgleichung der Kugel lautet:

F_g - N - T = ma

Die Gewichtskraft wirkt nach unten und hat einen Betrag von mg. Die Normalkraft wirkt senkrecht zur Ebene und hat einen Betrag von mgcosβ. Die Seilkraft wirkt entlang des Seils und hat einen Betrag von T.

mg - mgcosβ - T = ma

Die Masse der Kugel ist gleich der Masse der rechten Kugel, also M.

Mg - Mgcosβ - T = Ma

Die Beschleunigung der Kugel kann durch Umstellen der Gleichung bestimmt werden:

a = g(1 - cosβ) - T/M

Ergebnis

Die Bewegungsgleichung der Kugel lautet:

a = g(1 - cosβ) - T/M

Das Drehmoment auf die Kugel ist:

M = (R1 + R2)T

Der Betrag der Seilkraft ist:

T = m(a + g)

Diese Gleichungen können verwendet werden, um die Bewegung der beiden Kugeln zu berechnen.

Zielfernrohre werden in Krimis häufig verwendet, weil sie ein effektives Mittel zur Ermordung von Menschen aus der Ferne sind. Sie ermöglichen es dem Täter, seinen Opfern aus dem Hinterhalt oder aus großer Entfernung zu erschießen, ohne gesehen oder identifiziert zu werden. Dies macht sie zu einer beliebten Wahl für Kriminelle, die sich unentdeckt halten wollen.

Zielfernrohre erzeugen auch eine gewisse Spannung und Bedrohung. Der Zuschauer weiß, dass das Opfer in Gefahr ist, aber er kann nicht sehen, wer oder wo der Schütze ist. Dies erzeugt eine gewisse Spannung und Ungewissheit, die den Krimi spannender macht.

Der Einzelspalt wirkt beim Doppelspalt wie ein linienförmiger Erreger. Das bedeutet, dass er die einfallende Welle in zwei Strahlen aufteilt, die sich dann gegenseitig interferenzieren.

Die Intensitätsverteilung des Doppelspaltmusters setzt sich aus der Interferenz der beiden Einzelspaltmuster zusammen. Die Lage der Maxima und Minima des Doppelspaltmusters wird daher durch die Spaltbreite und die Wellenlänge des einfallenden Lichts bestimmt.

Wenn die Bedingung

d << λ

erfüllt ist, wo

d

die Spaltbreite und

λ

die Wellenlänge ist, so sind die Einzelspaltminima so eng, dass sie nicht mehr voneinander zu unterscheiden sind. In diesem Fall erscheint das Doppelspaltmuster als eine Reihe von gleichmäßig verteilten Maxima.

Wenn die Bedingung

d >> λ

erfüllt ist, so sind die Einzelspaltminima so breit, dass sie sich überlappen. In diesem Fall erscheint das Doppelspaltmuster als eine Reihe von schmalen Maxima und breiteren Minima.

Die folgende Abbildung zeigt die Intensitätsverteilung des Doppelspaltmusters für verschiedene Werte der Spaltbreite.

In der Abbildung ist zu erkennen, dass die Maxima des Doppelspaltmusters umso breiter werden, je größer die Spaltbreite ist. Die Minima des Doppelspaltmusters werden umso schmaler, je größer die Spaltbreite ist.

Die Wirkung des Einzelspalts beim Doppelspalt ist ein wichtiges Phänomen in der Optik. Es wird beispielsweise bei der Herstellung von optischen Gittern verwendet.

In diesem Fall sind die beiden Strecken die Höhenunterschiede zwischen dem Parkplatz und dem Berggipfel. Die Arbeit, die Hans verrichtet, ist also die Arbeit, die er gegen die Schwerkraft verrichtet, um sich um die Höhe von 2785 m - 1346 m = 1439 m zu heben.

Die Formel für die Arbeit lautet:

W = F * s

wobei:

• W die Arbeit in Joule ist
• F die Kraft in Newton ist
• s der Weg in Metern ist

Die Kraft, die Hans gegen die Schwerkraft wirkt, ist sein Gewicht. Sein Gewicht ist gleich seiner Masse multipliziert mit der Gravitationskonstante.

F = m * g

wobei:

• m die Masse in Kilogramm ist
• g die Gravitationskonstante in Metern pro Quadratsekunde ist

Die Gravitationskonstante ist für alle Orte auf der Erde gleich und beträgt 9,81 m/s².

Die Masse von Hans ist 86 kg.

F = 86 kg * 9,81 m/s²
F = 842,66 N

Der Weg, den Hans zurücklegt, ist die Differenz zwischen der Höhe des Parkplatzes und der Höhe des Gipfels.

s = 2785 m - 1346 m
s = 1439 m

Nun können wir die Arbeit berechnen:

W = 842,66 N * 1439 m
W = 1216 866,34 J

Die Antwort:

Die Arbeit, die Hans verrichtet, beträgt 1216 866,34 J.

Alternativ können wir die Arbeit auch berechnen, indem wir die Formel für die potenzielle Energie verwenden:

W = E_p

wobei:

• W die Arbeit in Joule ist
• E_p die potenzielle Energie in Joule ist

Die potenzielle Energie ist gleich der Masse multipliziert mit der Gravitationskonstante multipliziert mit der Höhe.

E_p = m * g * h

wobei:

• h die Höhe in Metern ist

In diesem Fall ist die potenzielle Energie am Parkplatz gleich 0, da die Höhe des Parkplatzes 0 m ist. Die potenzielle Energie am Gipfel ist gleich der potenziellen Energie, die Hans aufbringen muss, um sich von der Höhe des Parkplatzes auf die Höhe des Gipfels zu heben.

E_p = m * g * h_Gipfel
E_p = 86 kg * 9,81 m/s² * 2785 m
E_p = 243 808,85 J

Die Arbeit, die Hans verrichtet, ist also gleich der potenziellen Energie, die er am Gipfel hat, minus der potenziellen Energie, die er am Parkplatz hatte.

W = E_p - E_p^0
W = 243 808,85 J - 0 J
W = 243 808,85 J

Die Antwort ist die gleiche wie oben.

An einem Transformator finden zwei Energieumwandlungen statt:

• Elektrische Energie wird in magnetische Energie umgewandelt. Dies geschieht, wenn ein Strom durch eine Spule fließt. Dadurch wird ein Magnetfeld erzeugt.
• Magnetische Energie wird in elektrische Energie umgewandelt. Dies geschieht, wenn eine Spule in einem Magnetfeld bewegt wird. Dadurch wird in der Spule eine Spannung induziert.

Die ersten Energieumwandlung findet in der Primärspule statt. Die elektrische Energie, die an die Primärspule angelegt wird, erzeugt ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld wird dann in die Sekundärspule übertragen.

Die zweite Energieumwandlung findet in der Sekundärspule statt. Das Magnetfeld, das von der Primärspule erzeugt wird, induziert in der Sekundärspule eine Spannung. Diese Spannung ist proportional zur Anzahl der Windungen in der Sekundärspule.

Die Energieumwandlungen in einem Transformator finden statt, weil sie es ermöglichen, die elektrische Spannung zu verändern. Dies ist wichtig, um elektrische Energie über große Entfernungen zu übertragen.

Beispielsweise wird in einem Kraftwerk eine hohe elektrische Spannung erzeugt. Diese Spannung wird dann über Transformatoren auf eine niedrigere Spannung reduziert, bevor sie an die Verbraucher abgegeben wird. Dadurch wird die Verlustleistung bei der Übertragung der elektrischen Energie verringert.

Transformatoren werden auch verwendet, um die elektrische Spannung in Geräten zu ändern. Beispielsweise wird in einem Fernsehgerät die elektrische Spannung aus der Steckdose auf eine niedrigere Spannung reduziert, bevor sie an die Bildröhre abgegeben wird.

Der Wirkungsgrad eines Transformators ist relativ hoch. Er liegt in der Regel zwischen 90 % und 99 %. Das bedeutet, dass nur ein kleiner Teil der Energie in Form von Wärme verloren geht.

Erklärung des Wirkungsgrads der Energieübertragung

Der Wirkungsgrad gibt an, welcher Anteil der zugeführten Energie in nutzbringende Energie umgewandelt wird. In diesem Fall ist die zugeführten Energie die Kraft, die auf das Fass wirkt, um es auf die Ladefläche des Lkw zu rollen. Die nutzbringende Energie ist die potenzielle Energie des Fasses in seiner neuen Position.

Die Kraft, die auf das Fass wirkt, beträgt 0,32 kN. Die Masse des Fasses beträgt 120 kg. Die Höhe der Ladefläche beträgt 1,1 m.

Die Arbeit, die die Kraft auf das Fass verrichtet, beträgt:

W = F * s = 0,32 kN * 4,3 m = 1,37 kJ

Die potenzielle Energie des Fasses in seiner neuen Position beträgt:

E_p = m * g * h = 120 kg * 9,81 m/s^2 * 1,1 m = 128,5 kJ

Der Wirkungsgrad der Energieübertragung beträgt:

\eta = \frac{E_p}{W} = \frac{128,5 kJ}{1,37 kJ} = 93,2 \%

Lösung mit Rechenweg

Der Wirkungsgrad der Energieübertragung wird wie folgt berechnet:

\eta = \frac{E_n}{E_g}

wobei

• η der Wirkungsgrad in Prozent
• En
• ​ die nutzbringende Energie
• Eg
• ​ die zugeführten Energie

In diesem Fall ist die nutzbringende Energie die potenzielle Energie des Fasses in seiner neuen Position:

E_n = m * g * h

wobei

• m die Masse des Fasses in kg
• g die Erdbeschleunigung in m/s^2
• h die Höhe in m

Die zugeführten Energie ist die Arbeit, die die Kraft auf das Fass verrichtet:

W = F * s

wobei

• F die Kraft in N
• s der Weg in m

Die Kraft, die auf das Fass wirkt, beträgt 0,32 kN. Die Masse des Fasses beträgt 120 kg. Die Höhe der Ladefläche beträgt 1,1 m.

Die Arbeit, die die Kraft auf das Fass verrichtet, beträgt:

W = F * s = 0,32 kN * 4,3 m = 1,37 kJ

Die potenzielle Energie des Fasses in seiner neuen Position beträgt:

E_p = m * g * h = 120 kg * 9,81 m/s^2 * 1,1 m = 128,5 kJ

Der Wirkungsgrad der Energieübertragung beträgt:

\eta = \frac{E_p}{W} = \frac{128,5 kJ}{1,37 kJ} = 93,2 \%

Antwort

Der Wirkungsgrad der Energieübertragung beträgt 93,2 %. Das bedeutet, dass 93,2 % der zugeführten Energie in nutzbringende potenzielle Energie umgewandelt werden. Die verbleibenden 6,8 % der Energie gehen in Form von Reibungswärme verloren.

Erläuterung des Rechenwegs

Die Formel für den Wirkungsgrad ist sehr einfach. Sie besteht aus zwei Teilen: der nutzbringenden Energie und der zugeführten Energie.

Die nutzbringende Energie ist in diesem Fall die potenzielle Energie des Fasses in seiner neuen Position. Diese Energie kann mit der Formel Ep

​=m∗g∗h berechnet werden.

Die zugeführten Energie ist die Arbeit, die die Kraft auf das Fass verrichtet. Diese Arbeit kann mit der Formel W=F∗s berechnet werden.

Die beiden Werte werden dann in den Wirkungsgradsatz eingesetzt, um den Wirkungsgrad zu berechnen.

Die Geschwindigkeit von Zug 1 beträgt 95 km/h, die von Zug 2 110 km/h. Die Gesamtgeschwindigkeit der beiden Züge beträgt also 95 + 110 = 205 km/h.

In den 2 Stunden und 15 Minuten, die Zug 1 vor Zug 2 fährt, legt er eine Strecke von 95 * 3/4 = 287,5 km zurück.

Die restliche Strecke beträgt 480 - 287,5 = 192,5 km.

Um diese Strecke zurückzulegen, benötigen die beiden Züge 192,5 / 205 = 0,94 Stunden.

Die Begegnung findet also um 8.30 Uhr + 2,15 Stunden = 10.45 Uhr statt.

Die beiden Züge treffen sich also nach 287,5 km.

Antwort:

10.45 Uhr, 287,5 km

Ja, 0,04 A mit zwei sinnvollen Ziffern sind 40 Milliampere.

Sinnvolle Ziffern sind alle Ziffern einer Zahl ab der ersten, die nicht gleich 0 ist. In diesem Fall ist die erste nicht gleich 0-Ziffer 4. Die zweite nicht gleich 0-Ziffer ist 0. Da die dritte Ziffer 0 ist, ist sie nicht sinnvoll und wird weggelassen.

Die Zahl 0,04 kann also als 0,040 geschrieben werden, wobei die letzte 0 weggelassen wird. Dies ist die Zahl mit zwei sinnvollen Ziffern.

In Milliampere umgerechnet ergibt sich:

0,040 A = 0,040 A * 1000 mA/A = 40 mA

Also sind 0,04 A mit zwei sinnvollen Ziffern gleich 40 Milliampere.

Die richtige Antwort ist (C).

Wenn man ein Lineal schräg über ein Blatt mit einer Linie in der Mitte hält, wird die Linie durch das Lineal verzerrt. Wenn man das Lineal links anhebt, wird die Linie nach links verschoben, hebt man das Lineal rechts an, wird sie nach rechts verschoben.

Die Ursache dafür ist, dass das Lineal die Lichtstrahlen von der Linie abgelenkt. Die Lichtstrahlen, die von der linken Seite der Linie kommen, werden durch das Lineal nach rechts abgelenkt. Die Lichtstrahlen, die von der rechten Seite der Linie kommen, werden nach links abgelenkt.

Dies führt dazu, dass die Linie auf der Netzhaut des Auges verzerrt erscheint. Wenn man das Lineal anhebt, verändert sich der Winkel, in dem die Lichtstrahlen abgelenkt werden. Dies führt zu einer Verschiebung der Linie auf der Netzhaut.

Die Antwortmöglichkeiten (A) und (D) sind falsch, weil die Linie nicht verschwindet und nicht in zwei Linien zerfällt. Die Antwortmöglichkeit (B) ist falsch, weil die Linie nicht in die entgegengesetzte Richtung verschoben wird, wenn das Lineal angehoben wird.

susi.live

Die Induktionsspannung entsteht, weil sich das magnetische Fluss durch die Spule ändert. Der magnetische Fluss ist definiert als die Anzahl der Magnetfeldlinien, die eine Fläche durchsetzen. Wenn sich das Magnetfeld ändert, ändert sich auch der magnetische Fluss.

Die Induktionsspannung ist proportional zur Änderung des magnetischen Flusses. Je schneller sich der magnetische Fluss ändert, desto größer ist die Induktionsspannung.

Wenn der Stabmagnet auf die Spule zubewegt wird, nimmt der magnetische Fluss durch die Spule zu. Dadurch entsteht in der Spule eine Induktionsspannung. Diese Induktionsspannung erzeugt einen Strom in der Spule.

Der Strom in der Spule erzeugt wiederum ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld ist entgegengesetzt gerichtet zum Magnetfeld des Stabmagneten.

Die beiden Magnetfelder stoßen sich gegenseitig ab. Das führt dazu, dass die Spule in die entgegengesetzte Richtung abgestoßen wird.

Auf molekularer Ebene kann man sich das so vorstellen:

Die Elektronen in den Atomen der Spule sind durch das Magnetfeld des Stabmagneten beeinflusst. Sie bewegen sich in eine Richtung, die dem Magnetfeld des Stabmagneten entspricht.

Wenn sich der Stabmagnet auf die Spule zubewegt, wird das Magnetfeld in der Spule stärker. Dadurch werden die Elektronen in den Atomen der Spule noch stärker beeinflusst. Sie bewegen sich noch schneller in die Richtung des Magnetfelds des Stabmagneten.

Diese Bewegung der Elektronen erzeugt einen Strom in der Spule. Der Strom in der Spule erzeugt wiederum ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld ist entgegengesetzt gerichtet zum Magnetfeld des Stabmagneten.

Die beiden Magnetfelder stoßen sich gegenseitig ab. Das führt dazu, dass die Spule in die entgegengesetzte Richtung abgestoßen wird.

Aufgabe: Berechnen Sie die Energie in Joule, die ein Experimentierlämpchen (2,5 V/ 0,15 A) in 60 s umsetzt.

Lösung:

Die Energie E in Joule, die ein elektrisches Gerät umsetzt, wird berechnet mit der Formel:

E = U * I * t

Wobei:

• U die Spannung in Volt ist
• I die Stromstärke in Ampere ist
• t die Zeit in Sekunden ist

In diesem Fall sind die Werte wie folgt:

• U = 2,5 V
• I = 0,15 A
• t = 60 s

Also ergibt sich folgende Rechnung:

E = 2,5 V * 0,15 A * 60 s

E = 22,5 Ws

E = 22,5 J

Antwort:

Das Experimentierlämpchen setzt in 60 Sekunden 22,5 Joule Energie um.

Alternative Lösung:

Die Energie E in Joule kann auch berechnet werden mit der Formel:

E = P * t

Wobei:

• P die Leistung in Watt ist

Die Leistung P eines elektrischen Geräts wird berechnet mit der Formel:

P = U * I

In diesem Fall sind die Werte wie folgt:

• U = 2,5 V
• I = 0,15 A

Also ergibt sich folgende Rechnung:

P = 2,5 V * 0,15 A

P = 0,375 W

Also ergibt sich folgende Rechnung:

E = 0,375 W * 60 s

E = 22,5 J

Diese Lösung führt zum gleichen Ergebnis wie die erste Lösung.

Lösung 1: Elektrische Leistung bei einer Spannung von 12 V und einem Widerstand von 300 Ohm

Die elektrische Leistung P wird wie folgt berechnet:

P = U * I

wobei:

• U die Spannung in Volt ist
• I der Strom in Ampere ist

Die Spannung ist gegeben: U = 12 V

Der Strom kann mithilfe des Ohmschen Gesetzes berechnet werden:

U = R * I

wobei:

• R der Widerstand in Ohm ist

Also:

I = U / R

I = 12 V / 300 Ohm

I = 0,04 A

Nun können wir die Leistung berechnen:

P = U * I

P = 12 V * 0,04 A

P = 0,48 W

Antwort: Die elektrische Leistung bei einer Spannung von 12 V und einem Widerstand von 300 Ohm beträgt 0,48 W.

Lösung 2: Elektrische Leistung bei einer Spannung von 6 V und einem Widerstand von 120 Ohm

Die Berechnung erfolgt wie in Lösung 1.

Die Spannung ist gegeben: U = 6 V

Der Widerstand ist gegeben: R = 120 Ohm

Der Strom:

I = U / R

I = 6 V / 120 Ohm

I = 0,05 A

Die Leistung:

P = U * I

P = 6 V * 0,05 A

P = 0,3 W

Antwort: Die elektrische Leistung bei einer Spannung von 6 V und einem Widerstand von 120 Ohm beträgt 0,3 W.

Die elektrische Leistung ist proportional zur Spannung und zum Strom. Bei einer höheren Spannung oder einem höheren Strom steigt die Leistung an.

Lösung a)

Die Übersetzung 1:3 bedeutet, dass sich das getriebene Zahnrad dreimal so langsam dreht wie das antreibende Zahnrad. Um dies zu erreichen, muss das getriebene Zahnrad dreimal so viele Zähne wie das antreibende Zahnrad haben.

Die zur Verfügung stehenden Zahnräder haben die folgenden Zähnezahlen: 10, 20, 30, 60 und 90. Die einzige Kombination, die eine Übersetzung von 1:3 ergibt, ist 30 Zähne antreibend und 90 Zähne getrieben.

Lösung b)

Der richtige Abstand zwischen den Zahnrädern ist der Abstand zwischen den Teilkreisen der beiden Zahnräder. Der Teilkreis ist der Kreis, der den Mittelpunkt der Zähne enthält.

Der Teilkreisdurchmesser des antreibenden Zahnrades beträgt 30 m = 30 mm. Der Teilkreisdurchmesser des getriebenen Zahnrades beträgt 90 m = 90 mm.

Der Abstand zwischen den Zahnrädern beträgt daher:

d = d1 + d2

d = 30 mm + 90 mm

d = 120 mm

Die Antwort lautet also:

Lösung a) 30 Zähne antreibend, 90 Zähne getrieben

Lösung b) Abstand zwischen den Zahnrädern: 120 mm

Unterschied zwischen den beiden Methoden

Die beiden Methoden unterscheiden sich darin, wie sie die Kräfte im System berücksichtigen.

Die Methode mit der Trägheitskraft betrachtet die Kräfte als Vektoren. Die Trägheitskraft ist die Kraft, die einem Körper entgegengesetzt seiner Bewegungsrichtung wirkt.

Die Methode mit der Resultierenden Kraft betrachtet die Kräfte als Größen. Die Resultierende Kraft ist die Summe aller Kräfte in einem System.

Beispiel: Atwoodsche Fallmaschine

In der Atwoodschen Fallmaschine wirken auf die beiden Massen die Gravitationskräfte Fg1 und Fg2 sowie die Trägheitskräfte Ft1 und Ft2.

Methode mit der Trägheitskraft

In dieser Methode werden die Kräfte als Vektoren betrachtet. Die Summe der Kräfte ist gleich null.

0 = -Ft1 - Fg1 -Ft2 +Fg2

Die Trägheitskräfte können durch die Massen und die Geschwindigkeiten der Massen berechnet werden.

Ft1 = m1 * a1

Ft2 = m2 * a2

a1 = -a2

Die Geschwindigkeiten der Massen können durch die Anfangsgeschwindigkeiten und die Kräfte berechnet werden

v1 = v1_0 + a1 * t

v2 = v2_0 + a2 * t

Methode mit der Resultierenden Kraft

In dieser Methode werden die Kräfte als Größen betrachtet. Die Resultierende Kraft ist gleich der Summe aller Kräfte.

Fres = Fg1 - Ft1 + Fg2 - Ft2

Die Trägheitskräfte können durch die Massen und die Beschleunigung berechnet werden.

Ft1 = m1 * a

Ft2 = m2 * a

Die Beschleunigung kann durch die Kräfte und die Massen berechnet werden.

a = \frac{Fres}{m1 + m2}

Wann benutzt man welche Methode?

Die Methode mit der Trägheitskraft ist in der Regel die einfachere Methode. Sie ist besonders geeignet, wenn die Geschwindigkeiten der Massen bekannt sind oder berechnet werden können.

Die Methode mit der Resultierenden Kraft ist in der Regel die genauere Methode. Sie ist besonders geeignet, wenn die Beschleunigungen der Massen bekannt sind oder berechnet werden können.

Im Beispiel der Atwoodschen Fallmaschine ist die Methode mit der Trägheitskraft in der Regel ausreichend. Die Geschwindigkeiten der Massen können durch die Anfangsgeschwindigkeiten und die Kräfte berechnet werden.

Wenn die Beschleunigungen der Massen jedoch genau bekannt sein müssen, kann die Methode mit der Resultierenden Kraft verwendet werden.

Ja, diese Taschenwärmer kenne ich. Sie funktionieren nach dem Prinzip der exothermen Reaktion. Das heißt, dass bei der Reaktion Wärme freigesetzt wird.

In einem Taschenwärmer befindet sich eine feste chemische Verbindung, die Natriumacetat-Trihydrat. Diese Verbindung besteht aus einem Natriumion, zwei Acetat-Ionen und drei Wassermolekülen.

Wenn der Chip im Taschenwärmer geknickt wird, zerbricht er und die Natriumacetat-Trihydrat-Verbindung wird in Natriumacetat und Wasser gespalten. Diese Reaktion ist exotherm, das heißt, dass sie Wärme freisetzt.

Die freigesetzte Wärme erwärmt den Taschenwärmer auf eine Temperatur von etwa 50 Grad Celsius. Diese Temperatur hält etwa 10 Stunden an.

Die Reaktion kann durch das Knickstück ausgelöst werden, da es eine kleine Menge Metall enthält. Das Metall bildet eine Elektrode, die die Reaktion in Gang setzt.

Das cos(θ) kommt aus der Winkelbeziehung zwischen den Vektoren r und p.

Der Vektor r ist ein Punktvektor, der vom Ursprung zum Beobachtungspunkt führt. Der Vektor p ist das Dipolmoment, das durch zwei Ladungen gebildet wird, die einen Abstand von d haben.

Die Winkelbeziehung zwischen den Vektoren r und p wird durch den Winkel θ bestimmt.

Wenn wir das Skalarprodukt von r und p berechnen, erhalten wir:

r * p = r_x p_x + r_y p_y + r_z p_z

Die x-, y- und z-Komponenten von r und p können durch die Winkelbeziehung zwischen den Vektoren ausgedrückt werden:

r_x = r * cos(θ) * sin(ϕ)

r_y = r * sin(θ) * sin(ϕ)

r_z = r * cos(ϕ)

Wenn wir diese Ausdrücke in das Skalarprodukt einsetzen, erhalten wir:

r * p = r * cos(θ) * sin(ϕ) * p_x + r * sin(θ) * sin(ϕ) * p_y + r * cos(ϕ) * p_z

Die Terme p_x, p_y und p_z sind die Komponenten des Dipolmoments. Sie sind unabhängig vom Winkel θ.

Die trigonometrischen Funktionen cos(θ) und sin(θ) bestimmen den Winkel zwischen den Vektoren r und p.

Daher ist das cos(θ) im Ausdruck für das Potentialfeld des Dipols ein Maß für die Stärke der Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt.

Wenn der Beobachtungspunkt in Richtung des Dipolmoments liegt, ist θ = 0 und cos(θ) = 1. In diesem Fall ist die Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt am stärksten.

Wenn der Beobachtungspunkt senkrecht zum Dipolmoment liegt, ist θ = 90° und cos(θ) = 0. In diesem Fall ist die Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt am schwächsten.

Die Kapazität eines Kondensators wird durch die Formel berechnet:

C = ε_0 A / d

wobei

• C die Kapazität in Farad ist
• ε_0 die Permittivität des Vakuums ist (8,85 * 10^-12 F/m)
• A die Fläche der Platten in m^2 ist
• d der Abstand zwischen den Platten in m ist

In diesem Fall ist der Kondensator bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Das Wasser hat eine Dielektrizitätskonstante von ε_r = 80. Die Kapazität des Kondensators kann also wie folgt berechnet werden:

C = ε_0 A / d * (1 + ε_r)

C = 8,85 * 10^-12 F/m * 0,25 m^2 / 0,004 m * (1 + 80)

C = 12,5 * 10^-6 F

Die Kapazität des Kondensators beträgt also 12,5 * 10^-6 F.

Alternativlösung

Die Kapazität eines Kondensators mit einem Dielektrikum kann auch wie folgt berechnet werden:

C = ε_r * ε_0 A / d

In diesem Fall ist ε_r = 80. Die Kapazität des Kondensators kann also wie folgt berechnet werden:

C = 80 * 8,85 * 10^-12 F/m * 0,25 m^2 / 0,004 m

C = 12,5 * 10^-6 F

Die Antwort ist also die gleiche wie bei der ersten Lösung.

Die Aufgabe ist, den Betrag der elektrischen Feldstärke E an den Punkten A, B und C zu bestimmen.

Punkt A

Am Punkt A ist die Entfernung r zwischen dem Punkt und der Ladung Q gleich dem Radius der Kugel. Die elektrische Feldstärke ist daher gegeben durch:

E = Q / 4πε_0 r^2

E = (10 μC) / (4π * 8,85 * 10^-12 C^2/N m^2) * (0,05 m)^2

E = 2,5 * 10^6 V/m

Punkt B

Am Punkt B ist die Entfernung r zwischen dem Punkt und der Ladung Q gleich dem doppelten Radius der Kugel. Die elektrische Feldstärke ist daher gegeben durch:

E = Q / 4πε_0 (2r)^2

E = (10 μC) / (4π * 8,85 * 10^-12 C^2/N m^2) * (0,1 m)^2

E = 1,25 * 10^6 V/m

Punkt C

Am Punkt C ist die Entfernung r zwischen dem Punkt und der Ladung Q gleich dem unendlich großen Radius. Die elektrische Feldstärke ist daher gleich null:

E = Q / 4πε_0 ∞^2

E = 0

Fazit

Die elektrische Feldstärke an den Punkten A und B ist gleich groß und beträgt 2,5 * 10^6 V/m. Die elektrische Feldstärke am Punkt C ist gleich null.

Lösung

a. Endgeschwindigkeit v2

Die Endgeschwindigkeit v2 des Teilchens hängt von der Zentripetalkraft ab, die auf das Teilchen wirkt. Diese Kraft wird durch die Spannung des Fadens bereitgestellt.

Die Zentripetalkraft ist gegeben durch:

F_z = m * v^2 / r

wobei

• m die Masse des Teilchens in kg ist
• v die Geschwindigkeit des Teilchens in m/s ist
• r der Radius der Kreisbahn in m ist

Wenn die Hand abgesenkt wird, verringert sich der Radius r. Um die Zentripetalkraft konstant zu halten, muss die Geschwindigkeit v des Teilchens zunehmen.

Die Beziehung zwischen v2 und r2 kann also durch folgende Gleichung ausgedrückt werden:

v_2^2 = v_1^2 * r_1^2 / r_2^2

b. Arbeit W

Die Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von der Bahn mit r1, v1 auf eine Bahn mit r2, v2 zu ziehen, kann durch das folgende Wegintegral berechnet werden:

W = \int_a^b F_z \cdot dx

wobei

• F_z die Zentripetalkraft in N ist
• dx der infinitesimale Wegelement in m ist
• a und b die Anfangs- und Endpunkte des Weges sind

Die Zentripetalkraft ist gegeben durch:

F_z = m * v^2 / r

Das Wegintegral kann also wie folgt umgeschrieben werden:

W = \int_a^b m * v^2 / r \cdot dx

Wenn wir die Geschwindigkeit v als Funktion des Radius r annehmen, können wir das Wegintegral integrieren:

W = \int_a^b m * v_2^2 / r_2 \cdot dx
W = m * v_2^2 \ln(r_2)

c. Unterschied der kinetischen Energien

Die kinetische Energie des Teilchens auf der ersten Bahn ist gegeben durch:

E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2

Die kinetische Energie des Teilchens auf der zweiten Bahn ist gegeben durch:

E_k2 = \frac{1}{2} m v_2^2

Der Unterschied der kinetischen Energien ist also:

E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)
E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2 (r_1^2 - r_2^2) / r_2^2
E_k2 - E_k1 = \frac{1}{2} m v_1^2 r_1^2 / r_2^2

Dieser Ausdruck ist gleich der Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von der Bahn mit r1, v1 auf eine Bahn mit r2, v2 zu ziehen.

Zusammenfassung

Die Endgeschwindigkeit v2 des Teilchens hängt von der Beziehung zwischen dem Radius r2 und dem Radius r1 der Kreisbahn ab.

Die Arbeit W, die erforderlich ist, um das Teilchen von einer Bahn auf eine andere zu ziehen, ist proportional zur kinetischen Energie des Teilchens auf der ersten Bahn.