Wie lange braucht eine ausgelenkte Feder, um sich wieder zursammen zuziehen?

3 Antworten

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Ohne Reibung der Masse auf der Oberfläche folgt:

Fges = F_Feder = -k*u     mit Auslenkung u vom "Ruhepunkt" der Feder

mit   F = m*a

--> m*a = -k*u   II*1/m

--> a = -(k/m)*u

Somit folgt mit:   d²u/dt² = a

--> d²u/dt² = -(k/m)*u 

bzw.

d²u/dt² + (k/m)*u = 0     homogene gewöhnliche DGL

Mit dem charakteristischen Polynom:

p(z) = z² + (k/m)   -->   z² = -(k/m)   mit p(z) = 0

Somit folgen die Fundamentallösungen T(t) zu:

T1(t) = K*e^(t*i*sqr(k/m))

T2(t) = K*e^(-t*i*sqr(k/m))

Diese bilden eine vollständige Fundamentalbasis, wir können sie alternativ durch geeignete lineare Kombination umschreiben zu:

T1(t) = K*sin(t*sqr(k/m))

T2(t) = K*cos(t*sqr(k/m))

Sei nun   w = sqr(k/m) , so folgt:

T1(t) = K*sin(t*w)

T2(t) = K*cos(t*w)


Die Lösungen unserer DGL für u(t) lautet also:

u(t) = K1*sin(wt) + K2*cos(wt)

Sei nun u(0) die Auslenkung zum Zeitpunkt t = 0, so folgt:

u(0) = K1*sin(w*0) + K2*cos(w*0) = K2


Damit also:

u(t) = u(0)*cos(wt) + K1*sin(wt)

Sei nun desweiteren die Geschwindigkeit zu Beginn der Beobachtung bei t = 0, 0, so folgt:

du/dt (t=0) = 0 = -u(0)*w*sin(w*0) + w*K1*cos(w*0)

Und damit folgt:

0 = w*K1  ---> K1 = 0


Wir erhalten also als engültige Lösung für die Auslenkung u = u(t) :

u(t) = u(0)*cos(wt)


Um zu berechnen, wann die Feder in ihrem "Ruhepunkt" angekommen ist, setzen wir:

u(t) = 0   <--- keine Auslenkung

Somit folgt:

u(t) = 0 = u(0)*cos(wt)  --->  wt = (pi/2 +  n*pi)

Und damit:

t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(k/m)  ,  n =  0, 1, 2, ....


Es existieren also unendlich viele Zeitpunkte t = t(n) zu denen eine Auslenkung von 0 erreicht wird (die Feder hat sich wieder zusammengezogen).



Im dem Fall, dass eine Reibung berücksichtigt werden soll, wird das ganze etwas komplexer, so folgt die gesamte Kraft zu:

Fges = F_Feder + F_Reibung

F_Reibung = -C*du/dt     (Annahme: Reibung ist Geschwindigkeitsabhängig)

F_Feder = -k*u

--> m*a = C*du/dt - k*u

Somit folgt die gewöhnliche homogene DGL zu:

m*d²u/dt² + C*du/dt + k*u = 0  II*1/m

d²u/dt² + (C/m)*du/dt + (k/m)*u = 0


Hier lautet dann das charakteristische Polynom p(z):

p(z) = z² + (C/m)*z + (k/m)*z

mit p(z) = 0  folgt dann mit der pq-Formel:

z(1|2) = -(C/m)*0.5 +/- sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))

Damit also:

z(1) = -(C/m)*0.5 + sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))

z(2) = -(C/m)*0.5 - sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))


Die Fundamentallösungen T(t) folgen dann zu:

T1(t) = K*e^(-0.5*(C/m)*t)*e^(sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))*t)

T2(t) = K*e^(-0.5*(C/m)*t)*e^(-sqr( (C²/(4m²)) - (k/m))*t)

An der Stelle müssten wir dann eine Fallunterscheidung betreiben, falls der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist oder nicht etc..

C²/(4m²)) - (k/m)  > 0      ( --> sinh(wt) , cosh(wt) )

C²/(4m²)) - (k/m) = 0 ( Kritische Dämpfung !! aperiodischer Grenzfall)

C²/(4m²)) - (k/m) < 0   ( ---> sin(wt), cos(wt)  ; abklingende Schwingungen)



Der Rest wird dann analog wie zuvor berechnet mit den Bedingungen:

u(t=0) = u(0)

du/dt (t=0) = 0


Anschließend löst man dann die Gleichung:

u(t) = 0




Es hat sich noch ein Tipp-Fehler eingeschlichen:

...

t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(k/m)

sollte eigentlich heißen:

t(n) = (pi/2 + n*pi)/w = (pi/2 + n*pi)*sqr(m/k)

da ja gilt:     w = sqr(k/m)  

--> 1/w = sqr(m/k)

0
@poseidon42

Wenn es hängen würde, wäre es in der Tat eine Schwingung, ja, aber ich habe ja geschrieben, dass das ganze liegt, da mit es nur eine einmalige Attrahierung gibt.

0
@JTR666

nur wie kommst du am Anfang auf e^(...) ?

0
@JTR666

Ob es nun liegt oder hängt spielt keine Rolle. Ist die Feder einmal ausgelenkt, so wird sie, ohne Anwesenheit von Reibungseffekten, ewig harmonisch oszillieren (Sofern eine einmalige Auslenkung erfolgt, eine Zeitabhängige Triebkraft macht alles nur komplexer).

Es sollte eigentlich der Alltagserfahrung entsprechen, dass eine einmal kurz ausgelenkte Feder egal ob in liegendem oder aufrechten Zustand eine Schwingungsbewegung ausführt. Diese verliert in dem Fall nur Energie aufgrund von Reibungseffekten.

Veilleicht noch ein kurzes Wort zur Lösung einer homogenen DGL 2.Ordnung. Sie hat die Form:

x´´ + b*x´ + a*x = 0

Ich betrachte nur mal den Fall für b = 0:

--> x´´ + a*x = 0

Wir machen den Ansatz:

x(t) = e^(k*t)   --> x´´(t) = k²*e^(k*t)

Also durch einsetzen erhalten wir:

  (k² + a)*e(k*t) = 0    II *1/e^(k*t)

--> k² + a = 0   

, die linke Seite bezeichnet man auch als charakteristisches Polynom:    

p(k) = k² + a

Es ist einleuchtend, dass unser Ansatz die DGL erfüllt, falls die Gleichung:

k² + a = 0  erfüllt ist, so kommen wir schließlich auf das k.

Nun ist aber nicht nur e^(k*t) eine Lösung, sondern auch z*e^(k*t) mit z aus C. 

Somit lautet eine allgemeine mögliche Lösung für x = x(t):

x(t) = z1*e^(sqr(-a)*t) + z2*e^(sqr(-a)*t)

Stellt sich heraus, dass diese Lösung eindeutig ist etc. etc., ist viel Theorie noch dahinter. Mit der Eulerschen Formel kannst du dann im Falle a > 0 zeigen:

e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)

durch geeignetes Umschreiben von z1 und z2:

x(t) = u1*sin(sqr(a)*t) + u2*cos(sqr(a)*t)

Dahinter steckt im Endeffekt, dass für eine komplexe Zahl Z gilt:

(Z + Z^*)/2 = Re{ Z }

(Z - Z^*)/(2i) = Im{ Z }

wobei Z^* die komplex konjugierte zu Z meint.

Wenn dich die Theorie dahinter interessiert schau dir mal folgendes an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html

Oder Stichworte für Google:

- "lineare gewöhnliche DGL"

- "lineare DGL"

- "lineare DGL 2. Ordnung"

...

0

Meine - vielleicht zu oberflächliche - Überlegung:

Die Federkraft vermindert sich proportional mit dem Weg (Hub). Damit vermindert sich auch entsprechend die Beschleunigung und auch die Geschwindigkeit der Masse.Wie soll man dann die Hubzeit ermitteln?

Also meiner Meinung nach ist sie ja konstant, also hängt nur von der Federkonstanten und von der Masse die gezogen wird, ab.
Also egal wie starkt du an der Masse ziehst, es dauert immer gleich lange, bis sie wieder zusammengezogen ist...

0
@JTR666

Da magst du wohl recht haben. Ich erinnere mich jetzt an das Feder - Masse- Verhalten bei einer Armbanduhr mit Ankerwerk, also mit sich wechselnd drehender, mit einer Spiralfeder belasteten Masse (die Unruh) als Zeitgeber. Dabei ändert sich die Taktfrequenz mit Änderung der Drehamplitude der Unruh nicht.

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@syncopcgda

Und bei einem Pendel ist das auch so. Ob kleiner oder großer Ausschlag, die Frequenz bleibt gleich.

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Wenn die Feder auf etwas liegt, dann wirkt bei jeder Bewegung auch Reibung.

Von deren Stärke hängt es ab, wie schnell eine Auslenkung wieder zurückgeht. Ohne weitere Information läßt sich die Frage nicht beantworten.

Bei so etwas wird die Reibung immer vernachlässigt :)

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