Trägheitsmoment eines Körpers homogener/inhomegener Dichte?

Guten Abend! Die Trägheitsmomente der 3 Achsen eines Körpers brechnen sich ja (durch den Trägheitstensor) aus

rho *∫∫∫ y²+z² dx dy dz für x,

rho *∫∫∫ x²+z² dx dy dz für y,

rho *∫∫∫ y²+x² dx dy dz für z

Wenn ich aber nun einen Körper mit inhomogener Massenverteilung habe (z.B.ein Quader mit den Seitenlängen a,b,c dessen masse in den 8 Ecken gleichmäßig verteilt ist) habe ich ja theoretisch ein anderes rho als bei einem Körper mit selben Maßen, dessen Masse homogen verteilt ist.

Für letzteren habe ich die drei Trägheitsmomente

x: (b²+c²) * M / 12 ,

y: (a²+c²) * M / 12 und

z: (b²+a²) * M / 12 brechnet, indem ich die Dichte als M/abc - also Masse pro Volumen - geschieben habe.

Kann ich das Trägheitsmoment für den inhomogenen Körper dann nur in Abhängigkeit von rho(r) angeben? Es kann ja nicht gleich dem homgenen sein, auch wenn der Schwerpunkt derselbe ist.

Answer 1

[Bellefraise]

Hi - -  hoffentlich verstehe ich die Frage richtig!

Wenn wir eine nicht konstante dichte haben (z.B. wenn ein gasgefüllter Zylinder um seine Längsachse rotiert), dann muß die Abhängigkeit von Rho als rho(r) unter das Integral.... also genau wie du gesagt hast: der Schwerpunkt ist nicht von Bedeutung, sondern die radiale Massenverteilung (oder Dichteverteilung).

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[Chiros]

also kann ich das Trägheitsmoment nicht genauer angeben und die beiden Tensoren wären dann

(b²+c²)*M/12             0                    0

          0             (a²+c²)*M/12          0

          0                     0           (b²+c²)*M/12

und

(b*c^3 + c*b^3)pa/12                     0                                 0

                0                      (a*c^3 + c*a^3)pa/12                0

                0                                     0                   (b*a^3 + a*b^3)pa/12

?

Answer 2

[PWolff]

Meinst du die allgemeine Formel?

I = ∫∫∫ ρ(x,y,z) (y^2+z², x^2+z^2, x^2+y^2) dx dy dz

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Answer 3

[gilgamesch4711]

  rho wäre dann eine Funktion p ( x ; y ; z ) Weil integriert wird ja ursprünglich über dm .

Comments

[Chiros]

also kann ich das Trägheitsmoment nicht genauer angeben und die beiden Tensoren wären dann

(b²+c²)*M/12             0                    0

          0             (a²+c²)*M/12          0

          0                     0           (b²+c²)*M/12

und

(b*c^3 + c*b^3)pa/12                     0                                 0

                0                      (a*c^3 + c*a^3)pa/12                0

                0                                     0                   (b*a^3 + a*b^3)pa/12

?

Answer 4

[gilgamesch4711]

  Du hast mich total mistverstanden; wenn doch p eine beliebige Funktion sein soll, kannst du die Integrale doch explizit gar nicht ausführen.