Neue Mathematik für Division durch Null?
Die Gleichung i^2 = -1 hat in den reellen Zahlen keine Lösung, weshalb man dafür die komplexen Zahlen "erfunden" hat. Die Gleichung j × 0 = 1 hat auch keine Lösung in den reellen Zahlen. Wieso "erfindet" man dafür keine neuen Zahlen? Ich habe einen Verdacht, möchte aber die Antworten von Mathematikern hören.
2 Antworten
Der Grund dafür liegt darin dass ein "Teilen" durch 0 (oder eine andere Zahl) nur definiert ist wenn auch der Begriff der Multiplikation definiert ist. Strukturen in denen eine Addition mit dem neutralen Element 0 und eine Multiplikation definiert ist nennt man
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)
Man kann zeigen dass in einem solchen Ring das neutrale Element der Addition (also die 0) absorbierend wirkt, d.h. für jedes x € R gilt x*0 = 0*x = 0. Mit anderen Worten, es gibt außer für y = 0 kein x € R welches die Gleichung x*0 = y löst oder anders gesagt "Durch 0 darf man nicht teilen". Es gibt also keine Struktur in der Rechnen wie wir es kennen möglich ist und durch 0 geteilt werden darf.
Das ist ein grundsätzlicher Unterschied zur Situation mit der Lösung der Gleichung x^2 = -1. Hier lässt sich eine Erweiterung von R finden, die mit den Rechengesetzten in R kompatibel ist, nämlich die von dir angesprochenen komplexen Zahlen. Man gibt aber etwas auf, die komplexen Zahlen können nämlich nicht geordnet werden.
Nun würde mich dein Verdacht interessieren.
Genau das habe ich doch beschrieben. Eine Struktur die eine Addition, eine Multiplikation und ein inverses Element zur 0 besitzt kann kein Ring sein da in einer solchen Struktur die 0 nicht absorbierend wäre.
Ja, Deine Beschreibung ist super! Ich hab's nur nochmal vereinfacht, denn der FS sagte ja, dass er nicht viel Erfahrung in Mathematik hat.
Vielen Dank!
Ich dachte, es hätte mit dem Limes x -> 0 für 1/x zu tun, der +Unendlich und -Unendlich sein kann.
Nachtrag: Ringe, also mathematische Strukturen in denen die Rechenregeln der Addition und der Multiplikation gelten, können deutlich komplizierter sein als die reellen (oder komplexen) Zahlen. Seien z.B. R und S Ringe. Dann ist die Struktur RxS mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation (r1; s1) + (r2; s2) = (r1 + r2; s1 + s2) und (r1; s1)*(r2; s2) = (r1*r2; s1*s2) auch ein Ring. Auch in diesem Ring darf nicht durch 0 geteilt werden. Dein Limes ergibt in einem solchen Ring aber überhaupt gar keinen Sinn, er ist nicht einmal sinnvoll darstellbar.
Nur ein Nachtrag zu dem, was DerRoll richtigerweise beschrieben hat:
Mit der Einführung der komplexen Zahlen als eine Erweiterung der reellen Zahlen bekommt man es hin, dass die üblichen Rechenregeln weiterhin gelten und man insbesondere mit den reellen Zahlen als eine Teilmenge der komplexen Zahlen einfach so weiter rechnen kann wie bisher. Aber auch die Einführung der komplexen Zahlen ist nicht "umsonst" und verlustfrei - man verliert nämlich die Möglichkeit, die Zahlen auch so anzuordnen, dass die üblichen Regeln für diese Anordnung weiterhin gelten. Die Frage, ob i kleiner oder größer als Null ist (oder -i kleiner als +i etc.) lässt sich nicht mehr so beantworten wie auf den reellen Zahlen - C (die Menge der komplexen Zahlen) ist kein geordneter Körper.
Wie DerRoll schon schrieb, i ist eine Erweiterung der reellen Zahlen, deren Rechenregeln mit denen der reellen Zahlen kompatibel sind, d.h. dass Du auf die erweiterten Zahlen die gleichen Regeln anwenden kannst wie auf die nicht erweiterten.
Man kann aber beweisen, dass jede Erweiterung, bei der eine Division durch Null möglich wäre, mit den vorhandenen Rechenregeln nicht kompatibel ist - daher kann es eine solche Erweiterung nicht geben.