MC-Aufgabe Topologie?
Hallo folgende Aufgabe:
Hierbei ist alles klar bis auf 1) und 4).
Zu 1) B1 ist ein offenes Gebiet, nimmt man davon abgeschlossene Vektoren (die Teil einer Menge sind) so ist das Gebiet doch eigentlich wieder offen und somit selbst das Innere? Geht es hier aber vielleicht darum, dass wir für n->inf den Punkt (0,0) als abgeschlossen betrachten müssen? Dann würde dies schonmal Sinn machen.
Zu 4) Dies hätte ich mit dem Zwischenwertsatz argumentiert. Auf R^2 sollte dies ja passen, wenn man sich aber A anschaut, gibt es doch auf der Strecke x=0 bis x=1/2 (während y=0) manche Stellen die durch die Mengendifferenz fehlen. Was ist wenn f(x,y)=1/2 genau auf solch einer fehlenden Stelle sein würde, dann kann man den Zwischenwertsatz doch nicht anwenden bzw. es wäre falsch. Warum ist dann doch Richtig?
2 Antworten
Wenn (2) klar ist, dann sollte auch (1) klar sein, denn (0,0) ist in A und liegt auf dem Rand von A.
Für die (4) restringiert man f auf einen Pfad, in den die abgezogenen Punkte keine Löcher machen können, z.b. von (0, 0) über (1/4, 1/4) nach (1/2, 0). Dann kann man den Zwischenwertsatz anwenden. (Überlege die dazu wo diese abgezogenen Punkte liegen.)
Jein, für den Zwischenwertsatz solltest du die Funktion auf einem Pfad laufen lassen.
Das Innere von A ist die Menge aller inneren Punkte von A. Ein innerer Punkt von A ist ein Element von A, für den es eine Umgebung gibt, die vollständig in A liegt.
(0,0) ist ein Element von A. Es ist aber kein innerer Punkt, denn in jeder Umgebung von (0,0) liegt ein Punkt, der nicht in A liegt (das benutzt du ja in 2.). Also liegt (0,0) in A, aber nicht im Inneren von A. Also ist A nicht gleich dem Inneren von A.
Wenn du aus einer offenen Menge endlich viele Punkte entfernst, ja, dann ist auch das Ergebnis offen. Hier entfernst du aber unendlich viele Punkte - und dann muss das Ergebnis nicht mehr offen sein.
Achso natürlich im Prinzip hab ich falsch gedacht, das y-Argument kann ja trotzdem ungleich 0 sein und der Zwischenwertsatz ist ebenfalls auf R^2->R anwendbar (sofern f stetig), ist das richtig?