Analytische Geometrie Aufgabe fehlende Koordinaten (Vektoren)?
Hallo, ich sitze gerade an meinen Mathehausaufgaben und komme nicht weiter. Die Aufgabe lautet: Gegeben sei ein Rechteck ABCD mit A(1/-1) B(b1/3) C(5/6) und D(-1/d2).
Jetzt soll ich die beiden fehlenden Koordinaten b1 und d2 berechnen, aber ich weiß einfach nicht wie, kann mir jemand helfen? Das wäre unglaublich lieb!
Mit freundlichen Grüßen und ein schönes Wochenende
2 Antworten
Hallo,
da es sich bei ABCD um ein Rechteck handelt, müssen die Seiten AB und BC sowie die Seiten CD und AD senkrecht aufeinander stehen.
Hier bedeutet das: die Vektoren B-A und C-B, miteinander multipliziert, ergeben Null, denn das ist der Fall, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das Gleiche gilt für die Vektoren D-C und D-A
So bekommst Du zwei quadratische Gleichungen mit jeweils einer Unbekannten, die zu lösen sind:
B-A=(x/3)-(1/-1)=(x-1/4)
C-B=(5/6)-(x/3)=(5-x/3)
(x-1/4)·(5-x/3)=0, also (x-1)*(5-x)+12=0
-x²+6x+7=0 |:(-1)
x²-6x-7=0
Diese Gleichungen besitzt zwei Lösungen: x=-1 oder x=7
Welche davon die richtige ist, sehen wir später.
Zunächst das andere Seitenpaar:
D-C=(-1/y)-(5/6)=(-6/y-6)
D-A=(-1/y)-(1/-1)=(-2/y+1)
(-6/y-6)·(-2/y+1)=12+(y-6)*(y+1)=y²-5y+6
Lösungen: y=2 oder y=3
Nun haben wir für Punkt B entweder (-1/3) oder (7/3)
und für Punkt D entweder (-1/2) oder (-1/3)
Welche Lösung jeweils richtig ist, bekommen wir heraus, wenn wir uns klarmachen, daß die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks parallel und gleich lang sind. Wenn sie als Vektoren dargestellt werden, handelt es sich um den gleichen Vektor, denn Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung haben.
Es muß also gelten:
D-A=C-B und B-A=C-D
D-A ist entweder (-1/2)-(1/-1)=(-2/3) oder (-1/3)-(1/-1)=(-2/4)
C-B ist entweder (5/6)-(-1/3)=(6/3) oder (5/6)-(7/3)=(-2/3)
Die einzige Übereinstimmung findet sich bei dem Ergebnis (-2/3)
Dann ist D also bei (-1/2) und B bei (7/3)
Wenn Du möchtest, kannst Du das noch an B-A=C-D nachprüfen oder Du zeichnest die vier Punkte in ein Koordinatensystem ein und siehst, ob es sich wirklich um ein Rechteck handelt.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Angabe "Rechteck" bringt dich weiter: im Rechteck gibt's gleich 4 rechte Winkel (was man ausnutzen könnte), weiterhin ist AB genauso lang und parallel zu CD und logischerweise gleichzeitig gilt auch, dass AD und BC die gleiche Länge und parallel sind. Aus diesen Zusammenhängen müsste man den beiden Unbekannten auf die Schliche kommen können.
Was bringen mir diese Informationen? Ich komme trotzdem nicht weiter...