Wie soll ich das für alle Basen hier zeigen?
Sei (b1, b2, . . . , bn) Basis eines Vektorraumes V. Beschreibe alle Vektoren x ∈ V derart, dass
jede der Familien (x, b2, . . . , bn), (b1, x, . . . , bn), . . . , (b1, . . . , bn−1, x) eine Basis von V ist.
Anleitung: Stelle x als Linearkombination der Basis (b1, b2, . . . , bn) dar
Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich hätte die Vermutung, dass man mit der kanonischen Basis hier arbeiten könnte. Bin mir aber nicht sicher, wie ich das halt für alle zeigen soll. Könnte mir bitte jmd helfen?
1 Antwort
Tipp: Versuche zu zeigen, dass x = c1*b1 + c2*b2 + ... + cn*bn, sodass alle Linearkoeffizienten c1 bis cn ungleich Null sind, gerade die Menge der erlaubten Vektoren x bildet. Dafür betrachte den Fall, dass mindestens eins der ci Null ist und zeige, dass dann eine der Basen aus der Familie keine Basis mehr ist.
In dem Fall zeige das am besten für n=2, wenn du dann den Dreh raus hast, verallgemeinere auf beliebiges n.
Nun, das wäre so ein Beispiel, an dem man sehen kann, dass eine der beiden Familien mit diesem x keine Basis mehr sein wird.
Ich bin leider mit Beweise noch nicht so gut. Wie genau müsste ich vorgehen bei zbsp der ersten Familie?