Hilfe!?
Hallo,
Bei dem folgendem Beispiel brauche ich eure Hilfe.
Der Satz lautet: Eine stetige surjektion, die offen oder abgeschlossen ist, ist eine Identifizierung.
Identifizierung: Eine Surjektion q: X->Y heißt Identifizierung, fals Y die von q coinduzierte Topologie trägt.
Hier das Beispiel:
Ich check den letzten Satz nicht (Das Bild von...)
1 Antwort
Du hast die Identifizierung R -> {A, U}. Das ist zunächst eine Abbildung von Elementen von R auf die beiden Mengen A und U. Die Abbildung bildet die Elemente von R, die in A liegen auf die Menge A und die Elemente von R, die in U liegen, auf die Menge U ab.
Die Teilmengen von Y={A, U} sind Y, {A}, {U} und die leere Menge. Wenn du die Urbilder dieser Teilmengen betrachtest, so erhälst du:
Urbild von Y ist R, Urbild von {A} ist A, Urbild von {U} ist U und Urbild der leeren Menge ist natürliche die leere Menge.
Da in R die Menge R, die leere Menge und die Menge U offen sind (die Menge U, nicht die Menge {U}), sind entsprechend die Mengen Y (={A,U}), {U} und die leere Menge in der Quotientenmenge die offenen Mengen.
In R ist ]-2, -1[ offen. Das Bild von ]-2, -1[ unter der Identifizierung ist aber {A}, und das ist keine offene Menge (jedes einzelne Element von ]-2, -1[ wird auf A abgebildet, also ist das Bild {A}).
Andersherum ist [1,2] in R abgeschlossen, das Bild von [1,2] ist aber {U}, und {U} ist offen und da {A} nicht offen ist, ist {U} nicht zugleich auch abgeschlossen.
Das eine ist ein Objekt (in diesem Fall die Menge U), das andere ist die Menge, die genau dieses Objekt enthält.
Eine Beispiel sind z. B. die Mengen von Teilmengen, die eine Topologie beschreiben.
Was ist denn der Unterschied zwischen U und 〔U〕?