Wieso ist ]0,1[ nicht kompakt (Definition)?
Hi
Nach dem Satz von Heime Borell ist ]0,1[ nicht kompakt, weil ]0,1[ nicht abgeschlossen ist.
[0,1] aber ist kompakt.
Frage: Laut Def. ist eine Menge kompakt wenn es für jede offene Überdenkung eine endliche Teilüberdeckung gibt. Nachdem das aber für [0,1] gilt, muss das doch auf für ]0,1[ gelten (ich kann die Überdeckungen ja einfach übernehmen)?
Wo ist mein Denkfehler? D:
Danke fürs Lesen <3
1 Antwort
Das Problem ist, dass es bei ]0;1[ mehr offene Überdeckungen gibt, die dann keine endliche Teilüberdeckungen haben, z.B. sowas wie die Vereiniung von ]1/n; 1 - 1/n[ mit n = 3 bis unendlich. Dies wäre keine Überdeckung von [0;1], sondern nur von ]0;1[.
Du kannst (0, 1) nicht mit endlich vielen dieser Mengen überdecken. Wenn du nämlich endlich viele hättest, würde es ein maximales N geben, sodass alle der Mengen in (1/N, 1-1/N) enthalten sind, welche nicht gleich (0, 1) ist. Jede endliche Anzahl von Teilmengen kann also nicht (0, 1) überdecken.
Ich verstehe es nicht :(
Wenn es ein maximales N gibt, sodass in (1/N, 1–1/N) alle Teilmengen entahlten sind, dann sind diese Teilmengen "kleiner" (im Sinne des Maßes) als (1/N, 1–1/N) und können (1, 0) nicht überdecken.
Soweit verstehe ist das, oder?
Aber wieso gilt das jetzt für jede endliche Anzahl von Teilmengen?
Und wieso existiert so ein N wie oben?
Und was ist mit der Überdeckung (0, 1/2) ∪ (1/2, 1), das ist doch eine endliche Anzahl von Teilmengen, die (0, 1) überdeckt? Ich habe das Gefühl, etwas grundlegendes nicht verstanden zu haben.
Aber wieso gilt das jetzt für jede endliche Anzahl von Teilmengen?
Jede Menge hat die Form (1/n, 1-1/n)
Wenn es endlich viele Mengen sind, gibt es somit ein maximales N.
Und was ist mit der Überdeckung (0, 1/2) ∪ (1/2, 1), das ist doch eine endliche Anzahl von Teilmengen, die (0, 1) überdeckt?
1. 1/2 ist nicht in der Vereinigung.
2. Kompaktheit bedeutet, dass für jede Überdeckung immer eine Endliche Teilmenge von Menge existiert, die die Menge überdeckt. (0, 1/2) und (1/2, 1) sind nicht in der oben definierten überdeckung enthalten.
Also auch wenn ich (0, 2/3) ∪ (1/3, 1) wählen würde (was dann eine endliche Überdeckung wäre), würde es dennoch nichts ändern, da du mit den unendlichen Verbindungen von (1/n, 1–1/n) eine Überdeckung gefunden hast, von dieser es keine endliche Überdeckung gibt (der Laufindex also beschränkt ist), korrekt?
Genau, für JEDE offene Überdeckung der Menge muss es eine Endliche Teilmenge der Überdeckung geben, die auch eine Überdeckung ist.
Für jede Menge kannst du immer eine Endliche offene überdeckung wählen (und zwar der Raum selbst) bei Kompaktheit geht es aber darum, dass du bei jeder offenen überdeckung eben eigentlich nur eine Endliche Anzahl benötigst.
Aber wieso enthält (1/n, 1–1/n), n≥3, nicht endlich viele Teilüberdeckungen?
Sorry, ich bin nicht der Fragesteller, aber möchte es auch gerne verstehen.