Kompaktheit in Metrischen Räumen, ist ]0,1] kompakt?
Guten Tag,
ich beschäftige mich gerade mit Metrik. Da kommt man nicht um den Begriff der Kompaktheit herum.
Ich weiß, dass zum Beispiel ]0,1[ nicht kompakt ist, da es keine Teilfolge gibt die in dem offenen Intervall konvergiert (Beispiel: 1/n -> 0).
Nun bin ich mir bei dem halboffenem Intervall A = ]0,1] unsicher. Da die Teilfolge n/(1+n) ja in A konvergiert, also ist A kompakt. Oder muss jede Teilfolge konvergieren in A, also 1/n konvergiert ja nicht in A und daher ist A nicht kompakt.
Über eine Antwort wäre ich sehr erfreut, da je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirrter werde ich.
Mit besten Grüßen
Chakly
1 Antwort
Du redest immer von einer Teilfolge, aber es macht nur Sinn von einer Teilfolge einer vorgegebenen Folge zu sprechen. Hier brauchen wir aber gar keine Teilfolgen zu betrachten, die Folge (1/n), n aus N konvergiert in ]0;1] nicht, obwohl alle Folgenglieder in ]0;1] liegen, also ist ]0;1] nicht abgeschlossen, und somit, als Teilmenge eines metrischen Raums, auch nicht kompakt.
kompakt => abgeschlossen und beschränkt
Das ist auf R^n eigentlich sogar eine Äquivalenz (Satz von Heine-Borel).
Als hinreichendes Kriterium könnte man natürlich eine endliche offene Teilüberdeckung jeder Überdeckung, oder man zeigt eben Abgeschlossenheit und Beschränktheit jeweils einzeln, das wäre auch hinreichend.
Puuh, das ist eine gute Frage... Ich bin ehrlich gesagt Physiker und kein Mathematiker und kenne mich da nicht so detailliert aus. Aber so wie ich die Formulierung des Satzes lese, hast du genau Recht, es reicht nicht, dass wir in R^n sind, die Metrik muss die Standardmetrik sein...
Vielen Dank. Hat mir sehr weiter geholfen.
Also wenn alle Folgen in dem jeweiligen Raum konvergieren, dann ist ein Raum abgeschlossen und da gilt kompakt => abgeschlossen und beschränkt, Damit können wir folgern nicht abgeschlossen => nicht beschränkt.
Daher kann ich mit der Konvergenz zeigen, dass etwas nicht kompakt ist, anders herum ist es notwendig, aber nicht hinreichend. Als hinreichendes Kriterium brauch ich dann die endliche offene Überdeckung.
Hab ich das jetzt alles so richtig verstanden?