Dreiecksungleichung für Metrik?

Ich habe eine Aufgabe aus einem Buch:

Gegeben ist die Metrik d(x,y)=arctan|x-y|

Nun soll die Dreiecks Ungleichung bewiesen werden, also d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

Also arctan|x-z|≤arctan|x-y|+arctan|y-z|

Wie kann man das beweisen?

Answer 1

[mihisu]

====== Hinweis ======

Schreibe arctan(a+b) als Integral und zeige damit arctan(a + b) ≤ arctan(a) + arctan(b) für alle nicht-negativen reellen Zahlen a, b.

====== Lösungsvorschlag ======

Für alle nicht-negativen reellen Zahlen a, b gilt...

$\arctan\left(a+b\right)=\int\limits_{0}^{a+b}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \int\limits_{0}^{a}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t+\int\limits_{a}^{a+b}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t$

$\overset{\left[\tilde{t}=t-a\right]}{=} \int\limits_{0}^{a}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t+\int\limits_{0}^{b}\frac{1}{1+\underbrace{\left(\tilde{t}+a\right)^2}_{\geq \tilde{t}^2}}\,\text{d}t$

$\overset{\left[\tilde{t}\geq 0, a\geq 0\right]}{\leq}\int\limits_{0}^{a}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t+\int\limits_{0}^{b}\frac{1}{1+\tilde{t}^2}\,\text{d}\tilde{t} = \arctan\left(a\right)+\arctan\left(b\right)$

Außerdem gehe ich davon aus, dass bereits bekannt ist, dass die arctan-Funktion streng monoton steigend (s.m.s.) ist. [Bzw. wird das auch aus der Integral-Darstellung schnell klar, da der Integrand positiv ist.]

Damit und mit der Dreiecksungleichung |x - z| = |x - y + y - z| ≤ |x - y| + |y - z| erhält man für alle reellen Zahlen x, y, z schließlich...

$\arctan\left(\left\lvert x - z\right\rvert\right)\overset{\left[*\right]}{\leq} \arctan\left(\left\lvert x - y\right\rvert+\left\lvert y - z\right\rvert\right)$

$\overset{\left[\#\right]}{\leq}\arctan\left(\left\lvert x - y\right\rvert\right)+\arctan\left(\left\lvert y - z\right\rvert\right)$

Dabei ist bei [*] die Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag und die Streng-Monotone-Steigung der arctan-Funktion eingegangen. Und bei [#] ist die zuvor gezeigte Ungleichung für die arctan-Funktion eingegangen.

Comments

[Astrophysicist]

Vielen Dank das war hilfreich 🙃👍