Wie kann ich erklären das diese Menge Konvex ist?
Hallo. Wir haben die Menge M={(p_1,...,p_k) | p_i € (0,1) für i=1,...,k }. Wie sage ich das diese Menge Konvex ist ohne es Formal nachzuweisen? Ist die Begründung Abgeschlossen und offen genug?
1 Antwort
Ist die Begründung Abgeschlossen und offen genug
Abgeschlossenheit und Offenheit schließen sich gegenseitig aus und weder Offenheit noch Abgeschlossenheit reicht aus, damit konvexität gilt.
Ich würde es so begründen:
Das Intervall (0,1) ist konvex
M ist gleich dem Karthesischen Produkt (0,1)^k
Und da das Karthesische Produkt von konvexen Mengen konvex ist, ist die Menge konvex.
Noch eine Frage. Wenn wir (p_1,...,p_k) -> ln( p_1+..+p_k) + ln(1-p_1+...+p_{k-1)). Kann man irgendwie einfach begründe das diese Funktion auf der Menge M konkav ist, da die zweite ableitung von ln(x) < 0 und ln(1-x) < 0?
Hab wohl wieder mich bisschen vertan:
M={(p_1,...,p_{k_1}) | p_i € (0,1) für i=1,...,k , und p_1+...+p_k=1}
(p_1,...,p_{k-1}) -> ln( p_1+..+p_{k-1}) + ln(1-p_1+...+p_{k-1}). Und (p_1,...,p_{k-1}} kommt aus M.
Die letzte Frage, wenn man zusätzlich ln(p_i+...+p_j) zur Funktion dazu addiert. Mit 1<i<j<k. Wie kann man es dann begründen?
Also (p_1,...,p_{k-1}) -> ln( p_1+..+p_{k-1}) + ln(1-p_1+...+p_{k-1}) + ln(p_i+..+p_j)
bzw. das relevante hier (p_1,...,p_{k-1}) ->ln(p_i+..+p_j).
Ich habe eine Nebenbedingung vergessen. Es gilt:
M={(p_1,...,p_k) | p_i € (0,1) für i=1,...,k , und p_1+...+p_k=1}