Wie geht man am besten vor um zu zeigen dass eine Menge abgeschlossen, beschränkt, offen oder kompakt ist?

Es gibt kein "am besten"

Je nach Kontext, ist eine Strategie einfacher als die andere.

Um zu zeigen dass eine Menge abgeschlossen ist, kannst du zum Beispiel versuchen zu zeigen, dass für jede Konvergente Folge in der Menge auch dessen Grenzwert in der Menge enthalten ist. Oder du zeigst, dass das Komplement offen ist, indem du zum Beispiel zeigst, dass jeder Punkt eine Offene Umgebung besitzt.

Für Kompaktheit kannst du zum Beispiel zeigen, dass die Menge Abgeschlossen und beschränkt ist, zumindest geht das nur, wenn du dich in einem Endlichdimensionalen R-Vektorraum befindest, sonst gilt das nicht. Oder du versuchst zu zeigen, dass jede Folge in der Menge eine Konvergente teilfolge besitzt.

Die Beste Methode ist also:

Alle Definitionen verstehen

Alle Äquivalenzen zu den Definitionen verstehen (und wissen, unter welchen die Bedingungen die gelten)

Es gibt viele mögliche Ansätze, aber nicht jeder Ansatz ist anwendbar, du musst selbst ein Gefühl entwickeln, was genau du machen sollst.

Wähle eine konvergente Folge aus dieser Menge und begründe welche Eigenschaften der Grenzwert hat und warum.