Abgeschlossenheit einer Menge(2D)?

Hallo,

Laut Angabe ist folgende Menge abgeschlossen:

Jedoch verstehe ich nicht ganz wieso. Die Elemente würden doch für n=0,1,2,… so aussehen:

{(0,∞),(1,1),(2,1/2),…}.

Ich hätte aber gesagt, dafür dass die Menge abgeschlossen ist, müsste noch das Element (∞,0) dazugehören.

Liege ich hier falsch und könnt ihr mir weiterhelfen?

Answer 1

[eterneladam]

Ich verstehe abgeschlossen bezüglich der üblichen Topologie in R^2. Das bedeutet allerdings, dass ich von einem Tippfehler ausgehe, d.h. ich meine es müsste (n,1/n) aus R^2 heissen. Die 0 zählt man ich diesem Fall nicht zu N.

Der Abstand zweier Punkte (n,1/n) und (m,1/m) ist für n<>m immer grösser als 1. Da es sich somit um eine - wenn auch unendliche - Menge von isolierten Punkten in R^2 handelt, ist die Menge abgeschlossen. Sie hat keine Häufungspunkte, somit enthält sie trivialerweise jeden ihrer Häufungspunkte.