Ist ℝ abgeschlossen oder offen?

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Hallo xam193,

beides (als Teilmenge von ℝ selbst, das ist wichtig). Einerseits ist ℝ offen in ℝ, denn für jedes Element von ℝ gibt es eine ganze Umgebung, die komplett in ℝ liegt. Als Teilmenge von ℂ, der Menge der Komplexen Zahlen, ist ℝ nicht offen, denn da gibt es in jeder Umgebung Reelle und andere Komplexe Zahlen.

Als abgeschlossen wird eine Menge bezeichnet, deren Komplement offen ist. Das Komplement von ℝ (wiederum in ℝ) ist die Leere Menge. Das Komplement von ℝ in ℂ ist übrigens die Menge aller Komplexen Zahlen, deren Imaginärteil nicht gleich 0 ist. In ℂ ist ℝ also nur abgeschlossen.

Über jedes Element der Leeren Menge ist jede beliebige Aussage richtig, weil sie ja keine Elemente hat, auch die mit der ε-Umgebung. Sie ist also ein Paradebeispiel einer abgeschlossenen offenen Menge (engl. clopen set).

(s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Vielen Dank! Hat mir geholfen!

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Ist X ein topologischer, so ist die Teilmenge C := X, trivialerweise abgeschloffen, weil X und das Komplement ~X={} (Leermenge) per Definition beide offen sind. Ende.

Das gilt für ALLE topologischen Räume, IR eingeschlossen.