Äquivalenzrelation, Transitiv bei 2 Elementen?

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2 Antworten

Dein DENKFEHLER: Du interpretierst die formale Sprach schlichtweg falsch. Nur weil man 3 verschiedene Buchstaben verwendet, bedeutet nicht, dass die Werte, die ihnen zugeordnet werden, paarweise verschieden sind. Die Aussage ist seien a,b,c ∈ X mit (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R, so gilt (a,c) ∈ R. Hierbei betrachte man bloß alle Möglichkeiten für a,b,c ∈ M, das sind im Falle M={1;2}

a=1; b=1; c=1; oder
a=1; b=1; c=2; oder
a=1; b=2; c=1; oder
a=1; b=2; c=2; oder
a=2; b=1; c=1; oder
a=2; b=1; c=2; oder
a=2; b=2; c=1; oder
a=2; b=2; c=2.

Dein Problem kannst du übrigens wie folgt prüfen: die Relation in diesem Falle ist die triviale Relation R = M x M (das volle kartesische Produkt). In dieser Relation ist alles drin, sodass auf jeden Fall der Teilausdruck rechts in

∀x,y,z∈M:   (x,y)∈R & (y,z)∈R ⟶ (x,z)∈R.

trivialerweise immer erfüllt, sodass die ganze Aussage erfüllt ist, d. h. das Axiome Transivitität gilt trivialerweise. Analog gilt Symmetrie

∀x,y∈M:   (x,y)∈R ⟶ (x,z)∈R.

trivialerweise. Das Axiom Reflexitivität

∀x∈M: (x,x)∈R.

gilt, weil R alle Paar enthält und somit insbesondere (x,x) für alle x∈M.

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Das was Du als Relationen bezeichnest ist eigentlich eine Menge:
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

Diese Menge könnte von dem kartesischen Produkt A x A stammen, wobei A eine Menge mit den Elementen {1; 2} ist.

Kannst Du vielleicht den genauen Wortlaut der Aufgabe niederschreiben?

LG,

Heni

 

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Kommentar von Libastyle
10.11.2016, 13:38

Genau, die Aufgabe lautet:

Gegeben sei die menge M = {1,2}.

Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?

Mittlerweile habe ich herausgefunden, das es 16 Relationen gibt, ist das Korrekt?

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