Darf eien Halbordnugnsrelation symmetrisch sein?
Also eine Äquivalenzrelation kann ja auch zzgl. zu den Bedingungen, von Symmetrie, Transitivität und Reflexivität auch Antisymmetrisch sein.
Darf dann auch eine Halbordnungrelation neben den Bedingungen, dass die Antisymmetrisch, Transitiv und Relexiv ist, auch Symmetrisch sein?
(Eine Ordnungsrelation darf nur antisymmetrisch, transitiv und relfexiv seun oder o.O?)
Habe vorher eine ähnliche Frage gestellt, aber da paar Sachen ungenau formuliert, hoffentlich ist die Frage jetzt klarer.
2 Antworten
Angenommen die Relation ist Symmetrisch und Antisymmetrisch.
Sei (x,y) in der Relation, dann muss nach Symmetrie (y,x) in der Relation sein. Nach antisymmetrie muss x=y gelten.
Da Die Relation auch noch reflexiv ist, folgt somit dass x in Relation zu y steht, genau dann wenn x=y gilt.
Die einzige Relation die sowohl eine Äquivalezrelation als auch eine Halbordnung ist, ist somit die Gleichheitsrelation.
Vermutlich meinst du die Totale Ordnung.
Bei einer Totalen Ordnung muss für zwei Elemente x und y
(x,y) oder (y,x) gelten (beides darf auch sein, wenn x=y gilt)
Gleichheit kann nicht total sein, weil zwei unterschiedliche Elemente nicht in in Relation sein können (bzw die Gleichheit kann. Nur eine Ordnung sein, wenn die Grundmenge aus einem Element besteht)
<= Ist Total (nach dem Ordnungsaxiom der Reellen Zahlen)
Danke, aber was meint (x,y) oder (y,x) das kapiere ich nicht ganz?
Also was heißt (x,y) muss gelten? Dass einfach ein Tupel enthalten sein muss O.o?
Aber es darf auch beides sein oder wie, also wie bei der gleichheitsrelation?
Okay, aber waurm ist dann die gleichheitsrelation keine totale ordnung. Weil dann passt die Definition doch genau mit der Gleichheitsrelation
Genau, aber ich kann ja eine kleiner Gleichrelation haben, wo ich nur ein Tupel habe, wo z. B. R={1,1} ist, wenn meine Grundmenge X={1} ist und die sieht doch äquivaltent zur gleichheitsrelation aus
Achso, danke, eine größer gleich Relation ist auche ine Ordnungsrelation oder?
Die Äquivalenzrelation, die in einer Menge alle ihre Elemente als gleich definiert ist auch eine Halbordnung. Und es dürfte die einzige sein. Denn nimm an du hast eine Halbordnung die gleichzeitig symmetrisch ist. Dann kannst folgt aus der gleichzeitigen Antisymmetrie und Symmetrie das wir wieder die oben beschriebene, quasi triviale, Äquivalenzrelation erhalten.
Jemand der mehr von Algebra versteht als ich kann das bestimmt in einen formalen Beweis umformen.
Genau, aber die Gleichheitsrelation ist eine Äquivalenzrelation und Halbordnungsrelation, danke.
Könntest Du mir vielleicht uach beantworten, warum eine kleiner gleich Relation auch eine Ordnungsrelation ist, eine Gleichheitsrelation jedoch nur eine Halbordnungsrelation??