Beschränkt und abgeschlossen?
Hallo Zusammen,
ich hätte eine mathematische Frage.
Es handelt sich dabei um die untere Menge. Ich wüsste sehr gerne woran ich erkennen soll, dass sie unter anderem abgeschlossen und beschränkt ist?
Für gewöhnlich hat man ja zwei Grenzen, ich weiß, dass es sich um eine Ellipse handelt und der Text darüber sagt, dass sie eingeschränkt ist, aber mehr leider auch nicht.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
2 Antworten
Abgeschlossenheit: Gleichheitszeichen - der Rand der Ellipse gehört mit zur angegebenen Punktmenge.
Beschränktheit: Durch das Kleinergleichzeichen können die x- und y-Koordinaten der Punkte in der Menge B bestimmte Werte nicht überschreiten, die Menge ist somit beschränkt.
Die Tatsache, das die Menge B abgeschlossen und beschränkt - somit kompakt - ist, sichert die Existenz von globalem Maximum und Minimum der stetigen Funktion F (entweder auf dem Rand oder im Inneren).
Verstehe, vielen dank, durch ein nur <1 oder = 1 wäre es trotzdem beschränkt richtig? Sorry fürs löchern, aber das ist meine letzte Matheklausur, dann bin ich frei davon haha
So ist es; bei < wäre die Menge aber offen - stetige Funktionen können eventuell Extremwerte auf dem Rand einer Menge annehmen, wenn der aber fehlt, haben sie eventuell überhaupt kein Maximum und Minimum, sondern allenfalls ein Supremum und ein Infimum; weiss nicht, ob das hier der Fall ist, müsste ich mir genauer anschauen, bin aber zur Zeit unterwegs… :-)
Vielen Dank, Du konntest alle meine Fragen hierzu aufklären.
Zur Beschränktheit, ein ganz grobes, einfaches Argument: Ist |y|>2, so ist die linke Seite der Ungleichung in der Definition von B größer als 1 (denn schon der erste Summand ist dann größer als 1 und der zweite als Quadratzahl jedenfalls nicht negativ.) Ist |x-1| größer als 4, so ist die linke Seite ebenfalls größer als 1 (denn schon der zweite Summand ist dann größer als 1 und der erste als Quadratzahl jedenfalls nicht negativ).
Wenn also (x,y) zu B gehören soll, so muß jedenfalls gelten:
|y| <= 2, d.h. -2 <= y <= 2, und
|x-1| <=4, d.h. -4 <= x-1 <= 4, d. h. -3 <= x<= 5
Ohne genaueres Tifteln folgt daraus, dass B im Kreis um (0,0) mit dem Radius 5 liegt.
Na, wenn das keine beschränkte Menge ist, dann weiß ich nicht, wie ihr Beschränktheit definiert habt!
Und für die Abgeschlossenheit kann man sich auch zahlreiche Argumente ausdenken, je nach Vor-Unterricht; z.B. zu zeigen, dass das Komplement von B offen ist. Liegt nämlich (x,y) nicht in B (d.h. im Komplement von B) so muss ja zwischen den beiden Termen in der Definition von B die Relation > statt <= erfüllt. sein. Bezeichnet man den Abstand von (x,y) zu B dann mit d, so kann man abhängig von d leicht ein r>0 bestimmen, so dass der gesamte Kreis vom Radius r um (x,y) zu B disjunkt ist. Damit ist jeder Punkt des Komplements von B ein innerer Punkt des Komplements von B; d.h. das Komplement von B ist offen.
Nein, das = in y^2/4 + (x-1)^2/16 <= 1