Welche der folgenden Teilmengen sind offen und welche geschlossen?
kann mir jmd erklären welche von den unten genannten was sind und wieso?
A=[-3,0 [U] 0,1]
B=]-unendlich, 3[
C= {0} U {e^-n I n element aus N}
1 Antwort
Eine Teilmenge ist offen, wenn jedes Element der Teilmenge eine offene Umgebung hat, bdie vollständig in der Teilmenge enthalten ist.
(Bei metrischen Räumen nutzt man Epsilon Bälle als offene Umgebungen, also eine Menge von Punkten die von einem Punkt den Abstand kleiner als Epsilon haben)
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn das Komplement der Menge Offen ist.
A: ist weder offen noch abgeschlossen (überlge dir, warum die Epsilon Bälle um -3, 0 und 1 die Eigenschaften nicht erfüllen)
B: sei x in B, was kannst du über die Offene Umgebung sagen, wenn du Epsilon gleich dem Abstand von x zu 3 setzt?
C: sei x im Komplement der Menge
Es gibt nun 3 Fälle:
x ist kleiner als 0
x liegt zwischen zwei Folgenglieder der Folge e^-n
x ist größer als e^-1
Versuche nun für jeden dieser Fälle eine Offene Umgebung um X zu konstruieren
(Alternativ kann man versuchen es damit zu begründen, dass in Metrischen Räumen gilt, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn für konvergente Folgen, dessen Folgenglieder alle in der Menge sind, auch deren Grenzwert in der Menge ist. Bin mir nur da nicht so sicher, dass die Begründung klappt, da das für jede Folge gelten muss)
Den ersten Teil kann man vergessen. Ich habe mich bei den Klammer getäuscht. ^^
Zwei Anmerkungen:
A=[-3,1] und daher abgeschlossen.
Und zu C kann man sagen, dass für eine in einem metrischen Raum (M,d) konvergente Folge die Menge aller Folgenglieder vereinigt mit ihrem Grenzwert sogar kompakt ist. Daher ist C ebenfalls abgeschlossen. Wobei natürlich auch anders argumentiert werden kann.