Wie skizziert man diese Teilmenge: T= {z E C : |z+i|=|z+2|}?
(E steht für Element aus ).
Rein theoretisch Bedeutet das ja, das eine Teilmenge gesucht ist bei der in komplexer Zahlenebene, die Punkte jeweils den gleichen Abstand zu z=-i und z=-2 haben. Jedoch komm ich rechnerisch auf kein plausibles ergebniss. Ansatz war jeweils beide seiten zu quadrieren, jedoch mach die Rechnung am Ende kein Sinn da:
(i-2) • (2 Re(z) ) = 5
rauskommt was in meinen Augen keinen Sinn macht.
hoffe jemand kann mir das erklären falls ich mit meiner annahme falsch liege und evtl eine Rechnung dazu liefern.
2 Antworten
z = x + i*y
|z+i| = |z+2|
|z+i|^2 = |z+2|^2
x^2 + (y+1)^2 = (x + 2)^2 + y^2
2y + 1 = 4x + 4
y = 2x + 3/2
Jetzt weiss ich auch endlich wo mein Denkfehler war, danke dir !!!
Eine Skizze in der komplexen Ebene ist hilfreich, das gibt eine Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke von -2 und -i steht, und zwar genau in deren Mittelpunkt. Mit a = Realteil und b = Imaginärteil erfüllt die Gerade die Gleichung 2a + 3/2.
Ok, und nur noch eine Verständnisfrage:
|z| der Betrag von Z ist ja theoretisch der Abstand zum Ursprung.
wenn ich nun z.B
|z+i|= habe:
ist es dann der Abstand z=i vom Ursprung oder z=-i
oder ist damit eher ein Kreis um den Ursprung gemeint, mit dem Durchmesser i?
da hackt es noch bei mit mit dem Verständnis.
Vielen Dank schonmal im Vorraus
Und mit dem Ansatz komm ich bis:
a^2 +2abi+2ai+(bi)^2+2bi^2+i^2=a^2+4a+4 +2abi +4bi + (bi)^2
umgeformt:
2ai - 4a - 4bi -2b = 5
wie ich weitermachen soll leuchtet mir aber nicht ein…
Der Ansatz war nicht präzise formuliert, es muss heissen
| a + i(b+1) |^2 = | (a+2) + ib |^2, das bedeutet
( a + i(b+1) ) ( a - i(b+1) )= ( (a+2) + ib ) ( (a+2) - ib ) und
a^2 + b^2 + 2 b + 1 = a^2 + 4 a + b^2 + 4 und
b = 2 a + 3/2
Und: |z+i| = 1 ist ein Kreis um den Punkt -i mit Radius 1.
Vielen Dank, mein Fehler war, dass ich nach dem man den Betrag quadriert in der beim zweiten Faktor vergessen habe das es eine Subtraktion sein muss in der Klammer !
Darauf bin ich über skizze auch gekommen, aber ich frage mich trz wie man das rechnerisch zeigen kann.