Parameter a und b so bestimmen, dass f(x) stetig ist?
Hi, ich mache grade einen "Kompetenz-Check" in meinem Lehrbuch, und komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Und zwar ist diese Funktion f(x) gegeben:
ax+b für x <= 1f(x)=
1/x für x > 1Nun lautet die Aufgabe: > Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass f(x) in x0 = 1 stetig ist.
Was ich schon mal weiß ist, dass ich 1 für x einsetzen soll, und die beiden Teilfunktionen gleichsetzen muss. Aber ich hab ja zwei unbekannte, wie löse ich das dann? Hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
2 Antworten
Es hat ja keiner behauptet, dass die Lösung eindeutig ist. Such dir einfach a,b aus, sodass die Definition der Stetigkeit in x0 erfüllt ist.
Wenn du unbedingt irgendwelche Gleichungen Lösungen möchtest setz halt b auf 23 und löse nach a auf.
alles klar, ich hab jetzt für a = 5 und für b = 3 gewählt, bin die drei Bedingungen durchgegangen und die Funktion ist stetig. Nice
Und die zweite Aufgabe löse ich genauso?
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass f(x) in x0 = 1 differenzierbar ist.
5·x + 3 nimmt den Wert 8 an, wenn x = 1 ist.
Der rechte Teil der Funktion geht hingegen gegen 1, und das bedeutet einen Riesensprung in x₀.
Was heißt denn Stetigkeit? Um es zu veranschaulichen sagt man oft, dass eine Funktion dann steitg ist wenn man sie zeichnen kann ohne den Stift absetzen zu müssen. (Stimmt allerdings nicht immer).
Du weißt, dass der zweite Teil deiner Funktion für x-> 1 gegen 1 geht. Es ist jetzt keine schwarze Magie eine lineare Funktion aufzustellen für die gilt f(1)=1.
Mit a=0 und b=1 hättest du z.B. eine sehr triviale Belegung.
Damit die Funktion
f(x) = { ax + b für x ≤ 1
{ 1/x für x > 1
in x₀ = 1 stetig ist, muss in jedem Fall a + b = 1 sein, denn dann ist
f(1) = 1 = lim.[x↓1] 1/x.
Soll die Funktion auch noch differenzierbar sein, dann muss a = –1 sein, damit beide Funktionsgleichung in jeder Umgebung von x₀ = 1 auf denselben Wert hinauslaufen, nämlich –1. Natürlich muss dann b=2 sein.
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Das Zeichen »≤« lässt sich als »≤« schreiben und »x₀« als »x₀«. In Chromium-ähnlichen Browsern (auch Google Chrome) kannst Du das mit STRG+C herauskopieren und mit U+STRG+V Inhalt einkopieren.
Und wie soll ich jetzt wissen für welche Parameter die Funktion stetig ist? Soll ich da einfach alle Zahlen durchprobieren?