Bestimme die Parameter a und b so, dass f eine stetige Funktion ist. Bitte, ich brauch Hilfe!
Ich schreib bald meine Mathe-Klausur und komme mit einer Aufgabenart nicht klar..
Bestimme die Parameter a und b so, dass f eine stetige Funktion ist. (Softfrutti S.90)
gebt das hier in euren browser ein: i49.tinypic.com/aep361.jpg
Ich habe weder einen Plan, wie ich das lösen kann, noch was ein Parameter ist..
wäre nett wenn mir da jemand helfen kann....
lg
2 Antworten
Eine Funktion ist stetig, wenn man, "volkstümlich" ausgedrückt, den Graphen der Funktion mit einem Stift in einem Zuge zeichnen kann, also ohne absetzen zu müssen. "Ecken" dürfen vorhanden sein, Sprünge oder Löcher aber nicht.
Bei stückweise definierten Funktion wie in deinen Aufgaben ist es daher entscheidend, dass alle Teilfunktionen an ihren jeweiligen "Nahtstellen" den gleichen Funktionswert liefern, damit sie dort "zusammenpassen".
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Bei Aufgabe a) ist die "Nahtstelle": x = 1.
Es muss daher für x = 1 gelten:
( a x + 1 ) / ( 2 - x ) = 2 / ( a x )
[x = 1 einsetzen:]
<=> ( a + 1 ) / ( 2 -1 ) = 2 / a
<=> a + 1 = 2 / a
[beide Seiten mit a multiplizieren:]
<=> a ² + a = 2
[auf beiden Seiten quadratische Ergänzung addieren:]
<=> a ² + a + 0,5 ² = 2 + 0,5 ² = 2,25
[linke Seite mit erster binomischer Formel zusammenfassen:]
<=> ( a + 0,5 ) ² = 2,25
[Wurzel ziehen:]
<=> a + 0,5 = + / - 1,5
=> a = - 1,5 - 0,5 = - 2 ODER a = 1,5 - 0,5 = 1
Sowohl für a = - 2 als auch für a = 1 sind die Funktionswerte der beiden Teilfunktionen der Aufgabe a) an der Stelle x = 1 gleich, dort ist die stückweise definierte Funktion also stetig.
Nun muss man eigentlich noch überprüfen, ob die Teilfunktionen auch in ihren Definitionsbereichen stetig sind. Beides sind gebrochen rationale Funktionen. Solche Funktionen haben nur dort Unstetigkeitsstellen, wo ihr Nenner den Wert 0 annimmt. Das ist bei der Teilfunktion
( a x + 1 ) / ( 2 - x )
nur an der Stelle x = 2 der Fall. Für x >= 1 aber ist die Funktion f ( x ) durch die andere Teilfunktion 2 / a x definiert, und diese ist an der Stelle x = 2 definiert. Also ist diese Unstetigkeitsstelle der ersten Teilfunktion kein Problem für die Stetigkeit der zusammengesetzten Funktion f ( x ).
Der Nenner der zweiten Teilfunktion 2 / a x nimmt den Wert 0 nur für x = 0 an (da der Parameter a ja bereits als ungleich Null bestimmt wurde). Für x < 1 aber ist die Funktion f ( x ) durch die andere Teilfunktion ( a x + 1 ) / ( 2 - x ) definiert, und diese ist an der Stelle x = 0 definiert. Also ist diese Unstetigkeitsstelle der zweiten Teilfunktion ebenfalls kein Problem für die Stetigkeit der zusammengesetzten Funktion f ( x ).
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Bei Aufgabe b ) muss man prinzipiell genau so angehen. Die Nahtstelle ist hier x = 2 und an dieser Stelle müssen alle Teilfunktionen den Wert 9 annehmen (das folgt aus der zweiten Teilfunktion, die nur an der Stelle x = 2 zur Gesamtfunktion beiträgt und dort genau den Wert 9 annimmt.
Für x = 2 muss daher gelten:
( x - b ) ² = 9
und
a x + b = 9
[x = 2 einsetzen:]
( 2 - b ) ² = 9 <=> 2 - b = +/- 3 <=> b = - 1 oder b = 5
und
2 a + b = 9 <=> a = ( 9 - b ) 2
Für b = 1 ergibt sich daraus:
a = ( 9 - ( - 1 ) ) / 2 = 5
und für b = 5 ergibt sich daraus:
a = ( 9 - 5 ) / 2 = 2
Die Parameter müssen also entweder die Werte:
a = 5 und b = 1
oder
a = 2 und b = 5 annehmen, damit die zusammengesetzte Funktion stetig ist.
Die Überprüfung der Stetigkeit der zusammengesetzten Funktion an den anderen Stellen ihres Definitionsbereiches erübrigt sich, da die Teilfunktionen, aus denen sie zusammengesetzt ist, als ganzrationale Funktionen bekannterweise auf ganz R stetig sind.
also erstmal:) ein parameter ist ein buchstabe der schlicht und einfach für eine zahl steht, die man einsetzen kann.
im ersten fall wäre der parameter a =1 du musst einfach nur überlegen für welche zahl für a und wenn du für x 1 einsetzt(weil ja da die definitionslücke ist) das selbe rauskommt
verstanden?
okay ich probiers nochmal!:-)
ein parameter ist einfach nur eine art platzhalter der für einen bestimmten wert steht. du musst rausfinden für welchen genauen wert, der platzhalter steht! in dem fall ist es ja so, dass die funktion stetig ist, wenn bei beiden funktionsteilen das selbe rauskommt, nachdem ich den x-wert eingesetzt habe.
ist soweit noch alles klar?
okay super:) mach dir übrigens keinen kopf, bei mir hats auch ewig gedauert bis ich mathe gepeilt hab;-) man schafft sein abi trotzdem.
also nachdem bei der aufgabe der x-wert ja 1 ist, weil ja steht wenn x>1 usw. setzt du erst mal anstatt x in die aufgabe die 1 ein dann würde es heißen:
(1*a+1) / (2-1) und für die zweite 2/(1a) soweit auch noch klar?
und jetzt musst du nur noch überlegen, welche zahl du für a einsetzen musst, damit bei beiden funktionen, das selbe ergebnis rauskommt:) probiers mal!:-)
kann ich das nicht rechnerisch rausbekommen..?
ich hab jetz durch überlegen bei dem einen 0 und beim zweiten 2
nope, das muss man überlegen, aber das ist eigentlich logisch:)
du musst für a bei beiden die selbe zahl rauskriegen nämlich 1:) setz es mal ein und guck obs funktioniert
ne freundin hat mir das erklärt :D jetz hab ichs raus :D sie meinte man soll zuerst die grenzwerte berechnen und dann gleichsetzen und nach a auflösen :D juhu jetzt gehts :D
nein :(