Gleichung einer Tangente am Punkt p(x0|f(xo)) bestimmen?
Ich habe eine Aufgabe im Matheunterricht bekommen und habe keine Idee wie ich die lösen soll, sie lautet: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0|f(x0)) und der Graph ist f(x)=0,5x² und x0=4.
Danke
6 Antworten
Da jetzt einiges Falsches hier drin war. Du brauchst
Dann nimmst du die Formel für eine Gerade:und setzt für (x|y) den Punkt P und für m die Steigung der Funktion dort (also den Wert der Ableitung in P) ein
Also ist deine Tangente in P
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=4 ist die Stelle,wo die Tangente/Normale liegen soll
f(x)=0,5*x² abgeleitet f´(x)=1*x
f(xo)=f(4)=0,5*4²=8
f´(xo)=f´(4)=1*4=4
ft(x)=4*(x-4)+8=4*x-16+8
ft(x)=4*x-8
hier Infos per Bild,was du vergrößern kannst oder auch herunterladen.
Du musst die Steigung der Parabel (des Funktionsgraphen) im Punkt x0 = 4 bestimmen, die Tangente ist ja parallel zu dieser. Die Steigung entspricht der 1. Ableitung, diese ist gemäß den Ableitungsregeln (x^n > nx^(n - 1) und die Konstante bleibt) 0.5 * 2x^1 = x. Also ist die Steigung immer x und bei 4 damit 4.
Um an den y-achsenabschnitt q zu kommen (Tangente ist lineare Funktion mx + q) brauchst du nur einen bekannten Punkt auf der Geraden. Es gilt y = mx + q, und damit 8 = 4*4+q (in Punkt x = 4 ist y = 0.5*4^2 = 16). Also nach q auflösen, das gibt -8 und damit die Tangentengleichung f(x) = 4x - 8.
Ableitung f'(x) bestimmen, dort x0=4 einsetzen. Ergebnis ist Steigung m der Tangente. Dann f(4) ausrechnen und in Geradengleichung y=mx+b für y mit x=4 und m=f'(4) einsetzen und nach b auflösen. Dann hast du Steigung und y-Achsenabschnitt und kannst das in y=mx+b einsetzen.
Hallo, also für die Tangente brauchst du die allgemeine Graden Gleichung
y=mx+n
m=Deltay/Deltax=2
(4|8) und der Graph ist
f(x)=0,5x²
f(4)=0,5*4^2=8
m=2
m*4+n=8
8+n=8|-8
n=0
Tangentengleichung
y=2x
Wie kommst du eigentlich auf m=2? Du kannst die Steigung ja nur über die Ableitung ausrechnen. Und f'(x)=x, also m=f'(4)=4 und nicht 2.
m ist ja die Steigung habe es ohne f' gemacht, mit delta (warum geht es darüber nicht?)
Deltay/Deltax
8-0/4-0
f'(x) =x=4
4x-8 wäre die Gesamtgleichung
Du hast als Gleichung aber y=2x angegeben.
Du kannst ja nur die Differenz benutzen, wenn du zwei Punkte gegeben hast. Aber du kennst ja nur P auf der Tangente.
Du hast vorausgesetzt, dass die Tangente durch (0|0) geht, was sie aber nicht tut.
In dem Fall ja. Die Steigung über m=Deltay/Deltax kannst ja nur anwenden, wenn du zwei Punkte kennst.
Wenn ich einfach y/x mache ohne Delta kommt ja auch nicht 4 raus aber es muss doch dasselbe sein
Dir ist schon klar, dass du die Steigung einer Geraden nicht einfach dadurch rauskriegst, wenn du y- durch x-Koordinate eines Punktes dividierst? Das gilt nur bei Geraden durch den Ursprung.
Ansonsten sind die Deltas ja die Abstände der zwei gegebenen Punkte in y- und x-Richtung, die du dividierst. Nicht die Koordinaten eines einzelnen Punktes.
Also die Steigung der Geraden durch die Punkte (1|2) und (3|4) ist z.B. 1, da
(4-2)/(3-1)=2/2=1 ist. Aber du kannst hier natürlich ja nicht einfach 4/3 oder 2/1 rechnen.
Das ist mir schon alles klar aber habe oft die Schreibweise mit Delta y im Kontext von Graden gehört
Ja, aber ∆y und ∆x bezeichnet immer die Differenz der y- bzw. x-Koordinaten zweier verschiedener Punkte auf einer Geraden. Es gilt nämlich für zwei Punkte (x1|y1) und (x2|y2):
∆y/∆x=(y1-y2)/(x1-x2)
Das hast du ja hier nicht gemacht, sondern du hast einfach nur die y- durch die x-Koordinate eines Punktes dividiert. Das kannst du maximal dann machen, wenn du eine Ursprungsgerade hast, weil dann ja (0|0) ein zweiter Punkt auf der Gerade ist und damit letztendlich ∆y und ∆x grade den Koordinaten des ersten Punktes entsprechen, wenn (0|0) der zweite Punkt ist, den du einsetzt.
Bei allen anderen Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen (was hier ja der Fall ist bei der Tangente), kannst du eben nicht einfach die Koordinaten eines Punktes durcheinander dividieren, sondern musst immer die Differenz der Koordinaten zweier verschiedener Punkte betrachten.
y=mx+n muss es am Anfang heißen, sonst ist es keine Gleichung.