Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-(x+1)^2 + 4?
a)Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Tangente in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.
b)Bestimmen Sie Punkte P(x0|f(x0)) auf dem Graphen so , dass die Tangente in diesen Punkten die x-Achse jeweils bei 3,25 schneidet .
Lösung mit Lösungsweg wäre lieb :)
(x0= ein x mit einer kleinen null unten rechts )
3 Antworten
f(x)= -(x+1)^2+4 = -x^2 - 2x + 3
f'(x) = -2x-2
a) Schnittstellen mit x-Achse:
f(x) = 0
-> -(x+1)^2 + 4 = 0
<-> x1 = -3, x2 = 1
-> P(-3|0), Q(1|0)
f'(-3) = 4
--> t(x) = 4x + c
--> 0 = 4*(-3)+c
--> nach c auflösen (c=12)
--> t1(x) = 4x+12 für den Punkt P
Weils eine Parabel ist, ist der Betrag der Steigungen an den Nullstellen gleich
--> t2(x) = -4x + c
--> 0 = -4*1 + c --> c = 4
--> t2(x) = -4x+4 für den Punkt Q
Schnittstelle mit y-Achse:
f(0) = 3 --> R(0|3)
f'(0) = -2
--> t3(x) = -2x+c
--> 3 = -2*0+c ---> c = 3
---> t3(x) = -2x +3 für den Punkt R
b) Allgemeine Tangengengleichung benutzen
t(x) = f'(x0)(x-x0)+f(x0)
---> t(x) = (-2(x0)-2)(x-x0)+(-(x0)^2)-2(x0) +3
---> t(x) = -2(x0)x+(x0)^2-2x+3
---> t(x) = (x0)^2-2x(x0)-2x+3
jetzt einsetzen: x= 3,25 y=0
0=(x0)^2-6,5*(x0)-3,5
abc-Formel:
(6,5 +|- Wurzel(6,5^2+4*3,5))/2
---> einmal gilt dies für die x-Stelle
(6,5 + Wurzel(56,25))/2 und einmal für die x-Stelle (6,5 - Wurzel(56,25))/2
Ich habe ausversehen statt f(3,25) = 0 f(0) geschrieben weswegen das Ergebnis falsch ist, der Algorithmus ist aber derselbe
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente/Normale an der Funktion f(x)=.. liegen soll
f(x)=-1*(x+1)²+4 ableiten die Konstante 4 fällt dabei weg
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
Substitution (ersetzen) z=x+1 abgeleitet z´=dz/dx=1
f(z)=z² abgeleitet f´(z)=2*z
f´(x)=-1*(z´*f´(z))=-1*(1*2*(x+1)=-2*(x+1)
f´(x)=-2*x-2
Schnittstelle mit der y-Achse → x=xo=0
f(xo)=f(0)=-1*(0+1)²+4=-1+4=3
f´(xo)=f´(0)=-2*0-2=-2
eingesetzt
ft(x)=-2*(x-0)+3=-2*x+0*2+3
yt=ft(x)=-2*x+3
Schnittstelle mit der x-Achse f(x)=0=-1*(x+1)²+4
(x+1)²=-4/-1=4
x1,2=-1+/-Wurzel(4)=-1+/-2
xo1=-1+2=1 und xo2=-1-2=-3
eingesetzt in f(xo1)=... und f´(xo1)=....
und f(xo2)=... und f´(xo2)=...
ergibt dann mit ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
2 Tangentengleichungen
b) Die Tangente geht durch den Punkt P(3,25/0)
eingesetzt ft(3,25)=0=f´(xo)*(3,25-xo)+f(xo)
Hier haben wir eine Gleichung mit der Unbekannten xo=?,die ermittelt werden muß
0=(-2*xo-2)*(3,25-xo)+[-1*(xo+1)²+4]
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) xo1=-0,5 fällt weg und xo2=7
also xo=7
binomische Formel (x+b)²=x²+2*b*x+b²
(xo+1)²=xo²+2*1*xo+1²
Den Rest schaffst du selber. Hier mußt die die Nullstellen einer Parabel ermitteln,um xo=.. zu erhalten
Kontrolliere jeden deiner Rechenschritte mit xo=7 auf Richtigkeit
Herleitung Tangentengleichung/Normalengleichung → vergrößern und/oder herunterladen
