Lösungsweg für Aufgaben mit Tangenten?

Aufgabe: Es ist f mit f(x) = x^3 - 3x gegeben. Im Punkt P wird die Tangente an den Graphen von f gezeichnet. Berechnen Sie den Punkt S, in dem die Tangente den Graphen ein zweites Mal schneidet. Für P (3|f(3))

Answer 1

[Volens]

Zunächst bestimmen wir die y-Koordinate des Punktes P.
f(3) = 3³ - 3 * 3 = 27 - 9 = 18
Daher  P(3|18)

Das ist der Punkt auf der Kurve, durch den die Tangente gehen soll.

f(x)   = x³ - 3x
f '(x) = 3x² - 3
f '(3) = 24           Das ist die Steigung der Tangente bei P.
                         Bei x = 3 ist nur eine Berührung, kein
                         Schnittpunkt.

Dann ist also die Tangente   t(x) = 24x + b
                                         18  = 24 * 3  + b
                                           b  = -54

Und damit Tangente           t(x) = 24x - 54

Für den Schnittpunkt S muss ich Kurve und Tangente gleichsetzen.

                                        x³ - 3x = 24x - 54

Mit Rechnerhilfe komme ich auf die Schnittpunkte {3; -6}
Der ersten kennen wir; es ist P. Auch ein Berührpunkt ist ein Schnittpunkt (doppelte Berührung).
Der andere ist       S(-6|-198)

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Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[Volens]

Ein Berührpunkt ist natürlich auch ein Schnittpunkt. Ich wollte nur deutlich machen, dass S zwar auf der Tangente liegt, aber die Kurve nicht tangential berührt.