Wie rechne ich die Schnittpunkte bei der Tangengleichung?
Hallo, gegeben ist die folgende Funktion: f(x)= 0,5x^3. Laut meinen Rechnungen lautet die dazugehörige Tangentengleichung wie folgt: f(x)= 6x - 8. Im Punkt P(2|f(2)). Nun verstehe ich folgende Aufgaben nicht:
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Die Tangente t schneidet den Graphen der Funktion f in einem weiteren Punkt S. Bestimmte die Koordinaten des Punktes S.
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In welchem Punkt auf dem Graphen von f hat die Tangente t keinen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f?
Ich denke nun schon einige Stunden darüber nach, habe versucht die pq-Formel anzuwenden und auch versucht die Funktionen gleichzusetzen... ohne Erfolg.
Ich bedanke mich im Voraus für jede hilfreiche Antwort mit einem Rechenweg.
Schöne Grüße, Jan :)
2 Antworten
Wenn die Tangente t(x)=6x-8 die Funktion f(x) schneidet, muss gelten t(x)=f(x), also 6x-8=1/2x^3 bzw. x^3-12x+16=0.
Eine Nullstelle der Gleichung x^3-12x+16=0 kennen wir bereits, das ist die x-Koordinate des Tangentenpunktes also +2. Durch Polynomdivision
x^3-12x+16 : (x-2) erhält man
(x-2)(x^2+2x-8) = 0.
Die quadratische Gleichung hat die Lösungen -4 und +2. Der Schnittpunkt der Tangente mit der Funktion hat also die Koordinaten (-4, f(-4) )
Die Frage 2) ist mir unverständlich, denn es gibt unendlich viele Punkte f, die keinen Schnittpunkt mit t darstellen.
Es muss gelten 6x-8=1/2 * x^3 (ein x ist gesucht)
6x-8=1/2 * x^3, * 2
12x-16=x^3, -12x
-16=x^3-12x, +16
0=x^3-12x+16
Frage 2)
Offenbar ist nach einer Tangente t gefragt, die nur einen Schnittpunkt mit f hat. Das ist natürlich die Tangente am Nullpunkt, denn die hat als einzige die Steigung 0.
Für welchen Punkt wurde die Tangentengleichung aufgestellt ?
Für den Punkt P (2|f(2)). Habe ich leider vergessen in der Fragestellung hinzuzufügen.
Vielen Dank! Wie kommst du im ersten Abschnitt auf die: x^3-12x+16=0 ?