Wie kann man den Schnittpunkt von Tangente und Graphen berechnen?

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5 Antworten

Du mußt nun die Ausgangsgleichung f(x)=0,5x³ mit der Tangente g(x)=6x-8 (F'(x) ist da als "Name" falsch gewählt, da dies die Ableitung der Ausgangsfunktion darstellt) gleichsetzen und den Schnittpunkt berechnen.

Ja das habe ich auch gemacht aber ich komme da nicht weiter
6x-8=0.5x^3
0.5x^3-6x=-8
Und dann ?

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@ppetertalia

0,5x³=6x-8       |-6x +8
0,5x³-6x+8=0   |*2
x³-12x+16=0    (eine Stelle, bei der diese Gleichung 0 wird kennst
                         Du schon, nämlich x=2, also kannst Du (x-2)
                         ausklammern; in einer Nebenrechnung machst Du
                         jetzt eine Polynomdivision, und erhälst:
(x-2)*(x²+2x-8)=0    | bei 2. Klammer entweder pq-Formel oder
                                überlegen, welche Zahlen addiert +2 ergeben
                                und gleichzeitig multipliziert -8
(x-2)*(x-2)(x+4)=0 => x=2 oder x=-4

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Du bist dem Lehrer auf den Leim gegangen. Eine Tangente schneidet den Graph nicht, sondern berührt (=tangiert) ihn nur am betrachteten Punkt.

  Die Tangente g ( x ; x0 ) in x0 ist immer der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung

 g  (  x ; x0  )  :=  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )     (  1a  )

   Stimmt ja auch; denn

  g  (  x0 ; x0  )  =  f  (  x0  )      (  1b  )

  f  (  x  )  =  1/2  x  ³     (  2a  )

  f  '  (  x  )  =  3/2  x  ²   (  2b  )

  f  (  x0  )  =  4  ;  f  '  (  x0  )  =  6    (  2c  )  

 g  (  x ; x0  )  =  6  x  -  8    (  2d  )

  ( Übrigens; in ( 1b ) hast du die Probe auf ( 2d ) )

  ( deine Notation ist übrigens unexakt; es ist nicht f  '  (  x  )  , sondern g  (  x ; x0  )  . die Ableitung f ' eines kubischen Polynoms wäre niemals linear. ) gleichsetzen von ( 2ad )

  1/2  x  ³  -  6  x  +  8  =  0    (  3  )

   eine kubistische Gleichung. Du kennst mich noch nicht; sonst wüsstest du, dass ich sowas immer mit dem " geschmähten Stiefkind " mache, dem Satz von Vieta. Vieta bezieht sich aber immer auf die Normalform 

   x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0     (  4a  )

    In ( 3 ) hast du

   a2  =  0  ;  a1  =  (  -  12  )  ;  a0  =  16    (  4b  )

   Der eigentliche Ansatz oder Geistesblitz. Eine Tangente hat ja immer einen Berührpunkt; das ist eine Doppelwurzel von ( 4ab )

      x1;2  =  2    (  4c  )

    per Definitionem. Bliebe also nur noch x3 zu ermitteln. In gewisser Weise ist das ein über bestimmtes Gleichungssystem, das du auf Konsistenz prüfen kannst.

    a0  =  -  x1  x2  x3  =  -  4  x3  =  16  ===>  x3  =  (  -  4  )      (  5a  )

    a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )  =  -  (  x3  +  4  )  =  0  ===>  x3  =  (  -  4  )      (  5b  )

   a1  =  (  x1  +  x2  )  x3  +  x1  x2  =  4  (  x3  +  1  )  =  (  -  12  )  ===>  x3  =  (  -  4  )        (  5c  )

  Ergänzung; Teil 2 . Wie du aus meiner Antwort ersiehst, ist Polynomdivision ( PD ) viel zu umständlich.

   Aber im Internet kannst du finden, dass PD viel einfacher geht; das ist nämlich auch nix anderes als Hornerschema.

  Bei der Konkurrenz ===> Lycos kam mal der Kommentar

  " Während sich der Pauker da vorne eine gee-schlaa-gene Viertelstunde mit dieser
gef ickten PD herum quält, habe ich selbst das Ergebnis in einer Minute im Kopf.

  wie das geht? Wenn du schön höflich bist zu mir, sag ich's dir ... "

Also bei Aufg2 musst du einfach deine Tangenten Funktion die du bei Aufg 1 herausgefunden hast gleichsetzten mit der gegebenen Funktion F(x) um die gemeinsamen Punkte herauszufinden.

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