Matheaufgaben Lambacher Schweizer Kursstufe Lösungen?

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Die Tangentengleichung ist

t : y = f '(u) (x-u) + f(u).

Dabei ist B( u | f(u) ) der Punkt des Graphen von f, in dem die Tangente die Kurve berührt, also der Berührpunkt. u nennt man Berührstelle.

Sei f(x) = x³ - 3x.

Dann ist f '(x) = 3x² - 3.

Mit P( 1 | f(1) ) als Berührpunkt ergibt sich dann

u = 1,

f(u) = f(1) = 1³ - 3 * 1 = 1 - 3 = -2,

f '(u) = f '(1) = 3 * 1² - 3 = 3 - 3 = 0.

Einsetzen in t ergibt:

t : y = 0 * (x-1) + (-2), also

t : y = -2.

Mit P( 1/2 | f(1/2) ) als Berührpunkt ergibt sich

u = 1/2,

f(u) = f(1/2) = (1/2)³ - 3 * 1/2 = 1/8 - 3/2 = -11/8,

f '(u) = f '(1/2) = 3 * (1/2)² - 3 = 3/4 - 3 = -9/4.

Einsetzen in t ergibt:

t : y = -9/4 * ( x - 1/2 ) + (-11/8),

t : y = -9/4 x + 9/8 - 11/8,

t : y = -9/4 x - 1/4.

Mit P( 3 | f(3) ) als Berührpunkt ergibt sich

u = 3,

f(u) = f(3) = (3)³ - 3 * 3 = 27 - 9 = 18,

f '(u) = f '(3) = 3 * (3)² - 3 = 27 - 3 = 24.

Einsetzen in t ergibt:

t : y = 24 * ( x - 3 ) + 18,

t : y = 24x - 72 + 18,

t : y = 24x - 54.

 - (Mathematik, Hausaufgaben, Lösung)

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