Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe zu der Differentialrechnung behilflich sein?

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3 Antworten

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades sieht in ihrer verallgemeinerten Form so aus -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Sie hat also 3 unbekannte Parameter, nämlich a, b, und c.

Das bedeutet, man braucht 3 Informationen um diese Funktion eindeutig festzulegen.

Nun zu deinem Beispiel -->

1. Information :

Die Funktion geht durch den Punkt (-1|0)

Die x-Achse schneiden bedeutet y hat an der Stelle den Wert Null.

2. Information :

Die Funktion geht durch den Punkt (3|2)

3. Information :

Wenn eine Funktion in einem Punkt eine waagerechte Tangente hat, dann hat die 1-te Ableitung f´(x) in diesem Punkt den Wert Null.

Also -->

Die 1-te Ableitung hat an der Stelle x = 3 den Wert 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt bildest du erstmal die 1-te Ableitung -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

y´ = f´(x) = 2 * a * x + b

Nun stellst du mit Hilfe deiner 3 Informationen ein Gleichungssystem auf -->

I.) a * (-1) ^ 2 + b * (-1) + c = 0

II.) a * (3) ^ 2 + b * (3) + c = 2

III.) 2 * a * (3) + b = 0

Nun vereinfachst du dieses Gleichungssystem -->

I.) a - b + c = 0

II.) 9 * a + 3 * b + c = 2

III.) 6 * a + b = 0

Nun rechnest du weiter -->

Aus der Gleichung III.) ergibt sich -->

III.) b = - 6 * a

Nun kannst du b aus III.) in I.) einsetzen -->

I.) a - (-6 * a) + c = 0

I.) 7 * a + c = 0

I.) c = - 7 * a

Nun setzt du die gefundenen Identitäten für b und c in II.) ein -->

II.) 9 * a + 3 * (-6 * a) + (-7 * a) = 2

II.) 9 * a - 18 * a - 7 * a = 2

II.) -16 * a = 2

II.) a = - 1 / 8

Nun setzt du a in die gefundenen Identitäten für b und c ein -->

b = - 6 * (-1 / 8)

b = 3 / 4

c = - 7 * (-1  / 8)

c = 7 / 8

Die Funktion lautet ja y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c, nun ersetzt du die Parameter a, b und c durch ihre Zahlenwerte und erhältst -->

y = f(x) = - (1 / 8) * x ^ 2 + (3 / 4) * x + (7 / 8)

Eine waagerechte Tangente bei P(3|2) bedeutet, dass dies der Scheitelpunkt sein muss.

D. h. die Funktion sieht in der Scheitelpunktform so aus: f(x)=a(x-3)²+2
(allgemein: S(d|e) => f(x)=a(x-d)²+e)

Jetzt setzt Du nur noch den anderen gegebenen Punkt P(-1|0) ein und rechnest a aus:
0=a(-1-3)²+2
0=a(-4)²+2
0=16a+2
16a=-2
a=-1/8

also: f(x)=-1/8(x-3)²+2

Wenn Du möchtest, kannst Du das noch in die Normalform umrechnen..

allg. Form:

f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2ax + b

Du hast insgesamt 3 "Punkte" gegeben

f(-1) = 0

f(3) = 2

f'(3) = 0

Somit hast du 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

I) 0 = a * (-1)² + b * (-1) + c

II) 2 = a * 3² + b * 3 + c

III) 0 = 2 * 3 * a * b

* Sorry für die Reihenfolge

Jetzt musst du nur noch das LGS lösen.

-- Alle Berechnungen ohne Gewähr --

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