Bin mir jetzt nicht mehr sicher, aber ist es nicht prinzipiell so, dass der Grenzwert einer Funktionimmer gegen 0 geht, wenn x gegen 0 geht, auch wenn g(x) gegen +- unendlich geht?
Dann geht eben der Nenner damit von rechts gegen 0 und die Funktion f'(x) oben gegen +unendlich.
Du kannst hier L'Hospital nicht anwenden. Brauchst du ja auch gar nicht.
ln(x) geht für x->0 gegen -unendlich. Und das x->0 im Nenner verstärkt das ja im Prinzip nochmals zusätzlich, sodass der Grenzwert -unendlich ist.
ln(x)*x ist ein Fall für L'Hospital.
Deine Formel für da Volumen lauten ja
Mit 10% Volumen mehr hast du
Also gilt damit dann
Entsprechend für 10% weniger Volumen dann
Mit diesen Radien kannst dann selbst ausrechnen, wie sich der Oberflächeninhalt verändert. Grundsätzlich funktioniert das immer so, dass du eben in dem Fall das alte Volumen mit der entsprechenden Änderung multiplizierst und den Faktor dann so in die Berechnung des Radius' mit "reinziehst", dass wieder die alte Formel
entsteht.
Beim Oberflächeninhalt in 2) funktioniert das genauso, außer dass da die Formel anders ist.
Du musst aufpassen, dass die Tangentengleichungen hier nicht in der Formangegeben sind, wo du die Steigung direkt ablesen kannst, sondern du sie erst in diese Form bringen musst. Wurde von Applwind ja schon gemacht.
Die beiden Funktionswerte für Q und W in den angegeben Punkten kannst du über die Tangentengleichung ja ausrechnen, damit gilt dann
Außerdem kannst du für beide Punkte aus den umgeformten Tangentengleichungen die Steigungen ablesen, diese entsprechen den Werten der Ableitung von f an den beiden Punkten -4 und 5.
Und da W als Wendepunkt gegeben ist, gilt noch
Es gilt s=3312 und h=860. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du damit w bestimmen. Und h/w gibt dann wie gesagt deine Steigung an (wenn du sie in % willst mal 100 rechnen).
Die Abfahrtszeit t=115,01 sec brauchst du bei der 1) nicht. Damit kannst du wenn du die Länge s=3312 kennst z.B. die Durchschnittsgeschwindigkeit ausrechnen, diese wäre dann v=s/t (in m/sec).
Letztendlich hast du als Wahrscheinlichkeit
Das Bild sieht man leider nicht, aber wenn du das Steigungsdreieck richtig eingezeichnet hat, musst du die Länge der senkrechten Strecke durch die Länge der waagrechten Strecke teilen, um die Steigung der Geraden zu erhalten.
Ich kann jetzt nur vermuten anhand der Lösungen, wie das gemacht wurde.
Das Skalarprodukt kannst du ja als Matrix formulieren, die du von links und rechts jeweils mit dem Vektor (x,y) multiplizierst (links als Zeilen-, rechts als Spaltenvektor). Da muss dann genau die Zeile rauskommen, die angegeben ist.
Auf der Diagonale stehen einfach die Vorfaktoren der Quadrate. Bei einer symmetrischen Matrix halbierst du einfach die Vorfaktoren der anderen Summanden und schreibst sie an die jeweilige Stelle (also da 4xy vorkommen, kommt an Position 1-2 (xy) und 2-1 (yx) in der Matrix jeweils ne 2; usw.).
Bei einer orthogonalen Matrix gilt ja A^T*A=E. Anscheinend müssen hier die zwei Spaltenvektoren senkrecht zueinander sein. Du musst die 9 also passend auf die beiden noch freien Positionen verteilen, dass das passt und das normale euklidische Skalarprodukt der beiden Spaltenvektoren 0 ergibt.
Meiner Ansicht nach muss es übrigens v=(x,y,z) heißen und die Transpositionen sollten eigentlich auch eher danach und nicht davor stehen. Hab ich so noch nie gesehen.
Wenn du zwei Katheten gegeben hast, zeichnest du die beiden Strecken einfach im rechten Winkel aneinander und verbindest die anderen beiden Endpunkte miteinander.
Sind Kathete und eine Hypotenuse gegeben, zeichnest du die Kathete, an der einen Ecke eine Gerade im rechten Winkel und um die andere Ecke einen Kreis mit dem Radius der Hypotenuse. Wo sich Gerade und Kreis schneiden, ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
Da jetzt einiges Falsches hier drin war. Du brauchst
Dann nimmst du die Formel für eine Gerade:und setzt für (x|y) den Punkt P und für m die Steigung der Funktion dort (also den Wert der Ableitung in P) ein
Also ist deine Tangente in P
1 als Teiler ist ja eh trivial, das hat jede Zahl.
Im Zweifelsfall als PrimfaktorzerlegungUnd da siehst du dann, dass du aus den Primfaktoren eben alle Zahlen zwischen 2 und 10 bilden kannst, sodass diese dann eben alle Teiler der 5040 sind.
Aber wie gesagt, als Vielfaches der Zahlen von 1-10 muss 5040 natürlich durch diese Zahlen teilbar sein, sonst wäre es ja kein Vielfaches davon, wenn das nicht so wäre.
Wenn du dann weitere Teiler bestimmen willst, wären das (bis 20) eben 12, 14, 15, 16, 18, 20 etc., da auch die alle als Produkt mehrerer der Primfaktoren darstellbar sind. 11, 13, 17, 19 z.B. nicht, denn das sind selbst Primzahlen und kommen eben in der Primfaktordarstellung von 5040 nicht vor, können also auch keine Teiler sein.
Also ich hab mir das damals anhand von Matrizen so gemerkt:
A ist deine Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsbasis in Ausgangs- und Zielraum, A' die Abbildung bzgl. der beiden Basen B (im Ausgangs-) und C (im Zielraum). Um einen Vektor x bzgl. der Einheitsbasis abbilden zu können, musst du ihn also erst als Koordinatenvektor bzgl. B darstellen:Dann diesen Koordinatenvektor bzgl. A' abbilden (ergibt einen Vektor bzgl. Basis C):Und diesen Koordinatenvektor bzgl. C bildest du dann mit C wieder auf einen Vektor bzgl. der Einheitsbasis ab:
Es gilt alsoWillst du das jetzt nach C auflösen, wäre dasIn dem Fall wäreaus deinen Aufzeichnungen.
Vielleicht hilft das ja etwas weiter.
Naja, wenn du das Pascalsche Dreieck als bekannt voraussetzen kannst, gilt ja
Da alle Binomialkoeffizienten größer 0 sind und durch x>0 auch alle Potenzen von 0, ist damit auchund somit gilt insgesamt
Durch Einzeichnen der Höhe kannst du das Dreieck so in zwei rechtwinklige Teildreiecke aufteilen:
Letztendlich kannst du am Einfachsten dann den Sinus dafür verwenden:Der gesamte gesuchte Winkel ist doppelt so groß, also etwa 28,4°.
Gehe so vor:
Das ergibt dann folgende Zeichnung:
Also ich würde es so lösen:
Die Umkehrfunktion bei der ersten lautetWenn du jetzt aus dem Intervall [0;pi] die Werte für cos durchläufst, ist der Minimalwert für x 1/4 und der Maximalwert 3/4. Das ist der Definitionsbereich deiner Ursprungsfunktion, das Bild ist einfach [0;pi].
Bei der zweiten:
Nimm die Formel für den Flächeninhaltund setz dann einfach die veränderten Radien ein:Dann siehst du, dass durch das Quadrieren des Radius bei Vergrößerung des Radius der Flächeninhalt quadratisch dazu wächst bzw. bei Verkleinerung quadratisch schrumpft.
Mitsiehst du, dass für den halben Umfang sich auch der Radius halbiert, da hier die Variable U nicht wie r davor quadriert wird. Dann setzt du in die Formel für den Flächeninhalt oben den halben Radius ein und berechnest den passenden Flächeninhalt. Das kannst du dann ja selbst mal probieren.
Das Ganze sieht so aus (als Beispiel für a=0,5):
Das Dreieck ist rechtwinklig, die beiden Katheten sind
AB=a und BC=f(a)=-7a²+5
Die Fläche des Dreiecks ist dann
A=0,5⋅AB⋅BC =0,5a(-7a²+5)=-3,5a³+2,5a
Jetzt suchst du das Maximum dieser Funktion, indem du sie ableitest und die Ableitung nullsetzt:
A'(a)=-10,5a²+2,5=0 --> a=wurzel(2,5/10,5)≈0,488 (da nur Werte a>0 verlangt sind)
Also mir kommt die ganze Aufgabe ehrlich gesagt reichlich seltsam vor, weil überhaupt nirgends ersichtlich ist, worauf das gewählte n einen Einfluss haben soll. Es steht nur in der Aufgabe, dass B auf der Geraden y liegt und dass die Verschiebung zwischen zugehörigen B und C dem angegebenen Vektor entsprechen soll. Aber worauf hat das n dann einen Einfluss?
Wenn es die x-Koordinate des jeweiligen Punktes wäre, passt Aufgabe a) nicht dazu, weil da von B1, aber x=-1 die Rede ist. Bei B2 und x=2 würde es hingegen wieder passen. Bei der c) gebe ich B3C3 vor und frage nach einem x, für das ich 19 als Fläche habe. Wären x=-2,5. Was hat das dann aber mit B3C3 zu tun?
Genauso bei der 8. Aufgabe. Ich sag nur, dass alle Cn auf der Geraden y liegen sollen. Aber nirgends wird ersichtlich, worauf das n einen Einfluss hat.
Entweder stehe ich extrem auf dem Schlauch. Oder es fehlt zu den Aufgaben von davor irgendeine Skizze bzw. Grundlage. Oder die sind wirklich so wie sie gestellt sind nicht zu lösen.
Es gilt jaalso im konkreten Fall
Da cos(0°)=|f|=1 gilt, ist
