Wie beweist man den Zwischenwertsatz für Ableitungen?

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2 Antworten

Wenn f stetig differenzierbar ist, folgt das Resultat sofort mit dem Zwischenwertsatz.

Wenn f differenzierbar ist, gilt das Resultat dennoch, was auf den ersten Blick erstaunlich ist.

Dies lässt sich wie folgt beweisen: Definiere die Hilfsfunktion g(x)=f(x)-cx. Wir wollen nun zeigen, dass g eine Extremstelle hat, denn dies bedeutet dann gerade 0=g'(u)=f'(u)-c, d.h. f'(u)=c.

Wir wissen, dass g stetig, ja sogar differenzierbar ist. Somit nimmt g auf dem Intervall [a,b] ein Maximum an, wir bezeichnen die Maximumsstelle mit u.

Jetzt bist du dran: Du musst nun zunächst zeigen, dass u im offenen Intervall (a,b) liegt, d.h. es gilt nicht u=a oder u=b. Danach musst du begründen, weshalb g'(u)=0 gilt und hast dann damit bewiesen, dass u die gewünschte Eigenschaft hat.

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Kommentar von wanderingxmind
25.01.2016, 18:26

super, das hat mit schon mal sehr geholfen, danke =)

  Der Mittelwertsatz liefert mir da ja ganz gut ein passendes u aus (a,b), richtig?

Dass g'(u)=0 sein muss, ist ja anschaulich klar (denn g' wechselt ja das Vorzeichen). Andererseits muss g' ja gar nicht stetig sein... Woraus kann ich das das formal schließen?

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Wenn f stetig differenzierbar ist, wende einfach den Zwischenwertsatz auf die Ableitungsfunktion f' an. Kümmere dich nicht darum, dass es eine Funktion f gibt und dass der Name dieser Funktion einen Strich zusätzlich hat.

Wenn f aber nicht stetig differenzierbar ist, haben wir Pech gehabt.

(gefundenes Beispiel: http://www.matheboard.de/archive/4381/thread.html )

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Kommentar von wanderingxmind
25.01.2016, 18:01

Stetigkeit der Ableitung ist nicht vorausgesetzt; das ist ja der Witz am Darboux. Ansonsten, wie du gesagt hast, wäre es nur ein Fall für den Zwischenwertsatz...

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