[Mathe] Spiegel mit maximalem Flächeninhalt: Umfang?
Guten Abend,
wie berechne ich hier bei Aufgabenteil b) den maximalen Flächeninhalt und den Umfang, der dieser Spiegel dann hat?
Aufgabenteil a) habe ich verstanden (sofern es richtig ist).
2 Antworten
Teil a. ist richtig. Für die Lösung des b-Teils musst Du Dich von folgender Skizze leiten lassen.
Du zeichnest einfach irgendeine (gelbe) Fläche in den Restspiegel und berechnest dann mit der allgemeinen Variable x den Flächeninhalt. Nach dem Umfang ist übrigens nicht gefragt. Die Fläche beträgt
beziehungsweise
Ab hier suchst Du mit den Methoden der Kurvendiskussion das Maximum dieser Fläche.
Aber Vorsicht. Das Maximum könnte theoretisch auch ausserhalb der Kurve liegen. Darum prüfe vorsichtshalber, ob nicht der Grenzfall wie unten dargestellt für x = ln(3) schon ein Maximum ist. Oder ob nicht sogar x=2 und y=1 schon ein Maximum ist. Du musst alle drei Fälle miteinander vergleichen.
Für den unteren Grenzfall hast Du natürlich recht. Da erreicht auch Deine Flächenformel von selbst den unteren Grenzfall mit A=2FE.
Aber für den oberen Grenzfall liegt das Maximum mit u=1 und einem Flächeninhalt von A = 2,718FE nur knapp oberhalb vom Grenzfall mit u= 1,099 und A=2,704
Aber vielleicht hast Du Recht. Wären die Funktionsparameter etwas anders gelegen, so läge möglicherweise auch der Hochpunkt ausserhalb der zulässigen Grenze und es wäre aufgefallen.
Fläche A:
A = (2 - x) * e^x = 2e^x - xe^x
A' = e^x - xe^x
A' =! 0 =>
e^x - xe^x = 0
e^x = xe^x
x = 1
g(x) = (2 - 1) * e^1 = e
Ergebnis: der Spiegel hat eine Breite von 1 und eine Höhe von e.
Seine Fläche beträgt damit e FE und sein Umfang 2 + 2e
ProfFrink schrieb in seiner Antwort, dass man auch die Randwerte testen muss, wieso werden die Randwerte nicht bei der Berechnung des maximalen Flächeninhaltes, also des Hochpunktes, berücksichtigt?
g(x) = (2 - 1) * e^1 = e
Wieso kann man die berechnete 1 in die Flächeninhaltsfunktion einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten? Kann man also gleichermaßen in A(x) und g(x) immer einsetzen? Denn A(x) = (2-u) * e^u und g(x) = e^x.
Mann erhält durch einsetzen des Wertes u = 1 in die Flächeninhaltsfunktion ja den Flächeninhalt. Ist der Flächeninhalt hier immer gleich der y-Koordinate oder ist das nur hier so, da u = 1 ist?
Setzt man normalerweise das u = 1 in g(x) ein, um die y-Koordinate zu bestimmen?
Wieso kann man die berechnete 1 in die Flächeninhaltsfunktion einsetzen, um die y-Koordinate zu erhalten?
Wer macht das? g(x) ist die Kurve, auf der die Ecke des neuen Spiegels liegen soll. Das ist dann zwangsläufig auch die Höhe des Spiegels.
ProfFrink schrieb in seiner Antwort, dass man auch die Randwerte testen muss,
Nicht ganz. Er empfiehlt es vorsichtshalber...ich hab mir die Arbeit gespart, da ich beim linken Grenzwer schon durchs Hingucken sehe, dass ein Rechteck mit 1 * 2 = 2 FE kleiner ist und eine e-Funktion auch nicht wie Potenzfunktionen so oft rauf und runtergeht, dass hier eine Randwertbetrachtung erforderlich wird.
Mann erhält durch einsetzen des Wertes u = 1 in die Flächeninhaltsfunktion ja den Flächeninhalt. Ist der Flächeninhalt hier immer gleich der y-Koordinate oder ist das nur hier so, da u = 1 ist?
Dass man den errechneten x-Wert in A(x) einsetzen muss ist immer so. So haben wir A ja ermittelt. Dass hier der Zahlenwert von y und A gleich groß ist, ist wohl dem besoinderen Humor der Mathematiker zuzurchnen, die gerne solche Zahlenspiele machen. Allerdings ist die Einheit eine andere. Mathematiker lassen die weg. Bei Physikern und Ingenieuren wäre das eine Todsünde.
Setzt man normalerweise das u = 1 in g(x) ein, um die y-Koordinate zu bestimmen?
Klar, denn wir haben ja zuvor berechnet, dass bei x = 1 das flächenmaximale Rechteck ensteht und die Ecke dieses Rechtecks sol auf g(x) liegen.
Wie kann man begründen, dass die Randwerte nicht berücksichtigt werden bei der Berechnung des Hochpunktes? Kann man das leicht verstehen, wieso das so ist?
Also bevor du das schlüssig begründest, dass das überflüssig ist, hast du die Randwerte auch schon ausgerechnet. Der linke Randwert ist eh ganz schnell, berechnet. Da ist A = 2 * 1 = 2 und das ist weniger als e.
Kannst du mir das bitte nochmal genau erklären, wieso man die Randwerte separat beachten muss, obwohl man doch den Höhepunkt bei u = 1 berechnet hat? Wieso könnte das Maximum außerhalb der Kurve liegen? Wieso wird der Fall x = 2 und y = 1 nicht bei der Berechnung des maximalen Flächeninhaltes, also des Hochpunktes, berücksichtigt?